フーリエ級数展開-04
an，bn，について考えていきます．
式は，
\( \Large \displaystyle f(x) = \color{red}{\frac{a_0}{2}} + \sum_{n=1}^{ \infty} \left( a_n \ cos \frac{2 \pi n x}{T} + b_n \ sin \frac{2 \pi n x}{T}\right) \)
\( \Large \displaystyle f(x) = \color{red}{a_0} + \sum_{n=1}^{ \infty} \left( a_n \ cos \frac{2 \pi n x}{T} + b_n \ sin \frac{2 \pi n x}{T}\right) \)
どちらでも同じ結果となりますので，上の式を使っていきます．
・an，の推定
両辺に，\( \Large \displaystyle cos \frac{2 \pi m x}{T} \)，を掛けて，０からTまで積分すると，
\( \Large \displaystyle \int_0^T f(x) \cdot cos \frac{2 \pi m x}{T} \ dx = \int_0^T \left\{ \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{ \infty} \left( a_n \ cos \frac{2 \pi n x}{T} + b_n \ sin \frac{2 \pi n x}{T}\right) \right\} \cdot cos \frac{2 \pi m x}{T} \ dx\)
第一項，第三項は，三角関数の一周期の積分，直交性，から0となります．
第二項も，直交性，から，n=m，の時のみ値を持ち，
\( \Large \displaystyle \int_0^T f(x) \cdot cos \frac{2 \pi m x}{T} \ dx = \int_0^T a_m \ \left( cos \frac{2 \pi m x}{T} \right)^2 \ dx\)
となります．式を変形して，
\( \Large \displaystyle = \int_0^T a_m \ \left( 1 \color{red}{+} cos \frac{4 \pi m x}{T} \right) \ dx\)
第二項は，三角関数の一周期の積分，から0となりますので，
\( \Large \displaystyle = \int_0^T \frac{a_m}{2} \ dx\)
\( \Large \displaystyle = \int_0^T \frac{a_m}{2} \ dx\)
\( \Large \displaystyle =\frac{a_m}{2} \ T \)
したがって，
\( \Large \displaystyle a_m = \frac{2}{T} \int_0^T f(x) \cdot cos \frac{2 \pi m x}{T} \ dx \)
となります．
・bn，の推定
計算は，ほとんど同じですが，やってみます．
両辺に，\( \Large \displaystyle sin \frac{2 \pi m x}{T} \)，を掛けて，０からTまで積分すると，
\( \Large \displaystyle \int_0^T f(x) \cdot sin \frac{2 \pi m x}{T} \ dx = \int_0^T \left\{ \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{ \infty} \left( a_n \ cos \frac{2 \pi n x}{T} + b_n \ sin \frac{2 \pi n x}{T}\right) \right\} \cdot sin \frac{2 \pi m x}{T} \ dx\)
第一項，第三項は，三角関数の一周期の積分，直交性，から0となります．
第二項も，直交性，から，n=m，の時のみ値を持ち，
\( \Large \displaystyle \int_0^T f(x) \cdot sin \frac{2 \pi m x}{T} \ dx = \int_0^T b_m \ \left( sin \frac{2 \pi m x}{T} \right)^2 \ dx\)
となります．式を変形して，
\( \Large \displaystyle = \int_0^T b_m \ \left( 1 \color{red}{-} cos \frac{4 \pi m x}{T} \right) \ dx\)
第二項は，三角関数の一周期の積分，から0となりますので，
\( \Large \displaystyle = \int_0^T \frac{b_m}{2} \ dx\)
\( \Large \displaystyle = \int_0^T \frac{b_m}{2} \ dx\)
\( \Large \displaystyle =\frac{b_m}{2} \ T \)
したがって，
\( \Large \displaystyle b_m = \frac{2}{T} \int_0^T f(x) \cdot sin \frac{2 \pi m x}{T} \ dx \)
となります．
さて，今までは周期がTの関数を用いましたが，2πの場合はどうなるかを見ていきましょう．