フーリエ級数展開-05

フーリエ級数展開は，

\( \Large \displaystyle f(x) = \color{red}{\frac{a_0}{2}} + \sum_{n=1}^{ \infty} \left( a_n \ cos \frac{2 \pi n x}{T} + b_n \ sin \frac{2 \pi n x}{T}\right) \)

で，各定数は，

\( \Large \displaystyle a_0 = \color{red}{\frac{2}{T}} \int_0^T f(x) \ dx \)

\( \Large \displaystyle a_n = \frac{2}{T} \int_0^T f(x) \ cos \frac{2 \pi n x}{T} \ dx \)

\( \Large \displaystyle b_n = \frac{2}{T} \int_0^T f(x) \ sin \frac{2 \pi n x}{T} \ dx \)

となることを今まで説明していきました．．ここで，ｎ，は整数となります．

これを異なる周期，たとえば，‐πからπまでの周期の場合にどうなるかを考えていきます．

‐πからπまで

\( \Large \displaystyle x = \frac{T}{2 \pi} t \)

により変数返還すると，

\( \Large \displaystyle dx = \frac{T}{2 \pi} \ dt \)

\( \Large \displaystyle 0 \ \sim \ x \sim \ T \)

\( \Large \displaystyle 0 \ \sim \ t \sim \ 2 \pi \)

となるので，

\( \Large \displaystyle f(x) = \color{red}{\frac{a_0}{2}} + \sum_{n=1}^{ \infty} \left( a_n \ cos \frac{2 \pi n x}{T} + b_n \ sin \frac{2 \pi n x}{T}\right) \)

\( \Large \displaystyle = \color{red}{\frac{a_0}{2}} + \sum_{n=1}^{ \infty} \left( a_n \ cos \ nx + b_n \ sin \ nx \right) \)

で，各定数は，

\( \Large \displaystyle a_0 = \color{red}{\frac{2}{T}} \int_0^T f(x) \ dx = \color{red}{\frac{2}{T}} \int_0^{2 \pi} f(t) \ \frac{T}{2 \pi} \ dt = \color{red}{\frac{1}{\pi}} \int_0^{2 \pi} f(t) \ dt\)

\( \Large \displaystyle a_n = \frac{2}{T} \int_0^T f(x) \ cos \frac{2 \pi n x}{T} \ dx = \frac{2}{T} \int_0^{2 \pi} f(t) \ cos \ (nx) \ \frac{T}{2 \pi} = \frac{1}{\pi} \int_0^{2 \pi} f(t) \ cos \ (nx) \ dx\)

\( \Large \displaystyle b_n = \frac{2}{T} \int_0^T f(x) \ sin \frac{2 \pi n x}{T} \ dx= \frac{2}{T} \int_0^{2 \pi} f(t) \ sin \ (nx) \ \frac{T}{2 \pi} = \frac{1}{\pi} \int_0^{2 \pi} f(t) \ sin \ (nx) \ dx\)

となります．ここで，このページの，"周期関数を周期の範囲で積分した場合，積分範囲をシフトしても結果が変わらない"，を使えば，

\( \Large \displaystyle a_0 = \color{red}{\frac{1}{\pi}} \int_0^{2 \pi} f(t) \ dt = \color{red}{\frac{1}{\pi}} \int_{- \pi}^{ \pi} f(t) \ dt \)

\( \Large \displaystyle a_n = \frac{1}{\pi} \int_0^{2 \pi} f(t) \ cos \ (nt) \ dt = \frac{1}{\pi} \int_{ - \pi}^{ \pi} f(t) \ cos \ (nt) \ dt\)

\( \Large \displaystyle b_n = \frac{1}{\pi} \int_0^{2 \pi} f(t) \ sin \ (nt) \ dt = \frac{1}{\pi} \int_{- \pi}^{ \pi} f(t) \ sin \ (nt) \ dt\)

となります．‐πからπまでの計算を行いましたが，-LからLの周期関数も同様に行えば計算できます．

ーL～L

‐πからπのフーリエ級数展開の式，

\( \Large \displaystyle f(x) = \color{red}{\frac{a_0}{2}} + \sum_{n=1}^{ \infty} \left( a_n \ cos \ nx + b_n \ sin \ nx \right) \)

\( \Large \displaystyle a_0 = \color{red}{\frac{1}{\pi}} \int_{- \pi}^{ \pi} f(x) \ dx \)

\( \Large \displaystyle a_n = \frac{1}{\pi} \int_{ - \pi}^{ \pi} f(x) \ cos \ (nx) \ dx\)

\( \Large \displaystyle b_n = \frac{1}{\pi} \int_{- \pi}^{ \pi} f(x) \ sin \ (nx) \ dx\)

に，

\( \Large \displaystyle x = \frac{\pi}{L} t \)

により変数返還すると，

\( \Large \displaystyle dx = \frac{\pi}{L} \ dt \)

\( \Large \displaystyle - \pi \ \sim \ x \sim \ \pi \)

\( \Large \displaystyle -L \ \sim \ t \sim \ L \)

により，

\( \Large \displaystyle f(x) = \color{red}{\frac{a_0}{2}} + \sum_{n=1}^{ \infty} \left( a_n \ cos \ n \frac{ \pi}{L}t + b_n \ sin \ n \frac{ \pi}{L}t \right) \)

\( \Large \displaystyle a_0 = \color{red}{\frac{1}{\pi}} \int_{- \pi}^{ \pi} f(x) \ dx = \color{red}{\frac{1}{\pi}} \int_{- L}^{ L} f(t) \frac{ \pi}{L} \ dt = \color{red}{\frac{1}{L}} \int_{- L}^{ L} f(t) \ dt\)

\( \Large \displaystyle a_n = \frac{1}{\pi} \int_{ - \pi}^{ \pi} f(x) \ cos \ (nx) \ dx = \frac{1}{\pi} \int_{ - L}^{ L} f(t) \ \frac{ \pi}{L}t \ cos \ \left( n\frac{ \pi}{L}t \right) \ dx
= \frac{1}{L} \int_{ - L}^{ L} f(t) \ cos \ \left( n\frac{ \pi}{L}t \right) \ dx \)

\( \Large \displaystyle b_n = \frac{1}{\pi} \int_{ - \pi}^{ \pi} f(x) \ sin \ (nx) \ dx = \frac{1}{\pi} \int_{ - L}^{ L} f(t) \ \frac{ \pi}{L}t \ sin \ \left( n\frac{ \pi}{L}t \right) \ dx
= \frac{1}{L} \int_{ - L}^{ L} f(t) \ sin \ \left( n\frac{ \pi}{L}t \right) \ dx \)

となります，なかなかややこしいですが．．．

次からは，実際にいろいろな波形をフーリエ級数展開してみましょう