フーリエ級数展開

まずは，フーリエに入る前に基本的な性質からまとめていきます．

・偶関数・奇関数

偶関数・奇関数がある場合，これらの積はどうなるかを考えていきたいと思います．

　奇関数：\( \Large \displaystyle f(-x) = - f(x) \)

　偶関数：\( \Large \displaystyle f(-x) = f(x) \)

となります．

　・奇関数×奇関数

2つの奇関数，f(x), g(x),　を考え，その積を，h(x)，とします．

\( \Large \displaystyle h(x) = f(x) \cdot g(x) \)

\( \Large \displaystyle h(-x) = f(-x) \cdot g(-x) = \left\{ -f(x) \right\} \left\{ -g(x) \right\} = f(x) \cdot g(x) \)

となり，偶関数となります．

　奇関数×奇関数＝偶関数

　・奇関数×偶関数

奇関数，f(x)，偶関数 g(x),　を考え，その積を，h(x)，とします．

\( \Large \displaystyle h(x) = f(x) \cdot g(x) \)

\( \Large \displaystyle h(-x) = f(-x) \cdot g(-x) = \left\{ -f(x) \right\} g(x) = -f(x) \cdot g(x) \)

となり，奇関数となります．

　奇関数×偶関数＝奇関数

　・偶関数×偶関数

2つの偶関数，f(x), g(x),　を考え，　を考え，その積を，h(x)，とします．

\( \Large \displaystyle h(x) = f(x) \cdot g(x) \)

\( \Large \displaystyle h(-x) = f(-x) \cdot g(-x) = f(x) \cdot g(x) \)

となり，偶関数となります．

　偶関数×偶関数＝偶関数

・三角関数と±１との関係

\( \Large \displaystyle cos \ n \pi \)

を考えます．ここで，ｎは整数です．すると，

と１，－1と繰り返すので，

\( \Large \displaystyle cos \ n \pi = (-1)^n \)

と書き換えることができます．

・三角関数の一周期の積分

\( \Large \displaystyle \int_0^{T} cos \ \frac{2 \pi nx}{T} \ dx \)

を考えます（ｎは整数）．

\( \Large \displaystyle \int_0^{T} cos \ \frac{2 \pi mx}{T} \ dx = \left[ \frac{T}{2 \pi n} sin \ \frac{2 \pi nx}{T} \right]_0^T
= \frac{T}{2 \pi n} \left[ sin (2 \pi n) - sin (0) \right] = 0 \)

となります．また，

\( \Large \displaystyle \int_0^{T} sin \ \frac{2 \pi nx}{T} \ dx \)

は，

\( \Large \displaystyle \int_0^{T} sin \ \frac{2 \pi mx}{T} \ dx = \left[ -\frac{T}{2 \pi n} cos \ \frac{2 \pi nx}{T} \right]_0^T
= -\frac{T}{2 \pi n} \left[ cos (2 \pi n) - cos (0) \right] = \frac{T}{2 \pi n} (1-1) = 0 \)

といずれの場合にも０となります．

・同じ周期を持つ関数の積

f(x), g(x), を同じ周期を持つ関数として，その周期を，T，とします．すると，

\( \Large \displaystyle f(x) = f(x+T) \)

\( \Large \displaystyle g(x) = g(x+T) \)

が成り立ちます．その積を，h(x)，とすると，

\( \Large \displaystyle h(x) = f(x) \cdot g(x) \)

\( \Large \displaystyle h(x+T) = f(x+T) \cdot g(x+T) = f(x) \cdot g(x) = h(x) \)

となり，同じ周期Tを持つこととなります．

しかし，最小周期，が異なることもあります．たとえば，

\( \Large \displaystyle f(x) \cdot g(x) = sin(x) \cdot sin(x) \)

の場合，周期は，2π，となります．

\( \Large \displaystyle sin(x) \cdot sin(x) = \left( \frac{ e^{ix} - e^{-ix}}{2i} \right)^2 \)

\( \Large \displaystyle = - \frac{1}{4} \left( e^{ix} \cdot e^{ix} - e^{ix} \cdot e^{-ix} - e^{-ix} \cdot e^{ix} + e^{-ix} \cdot e^{-ix}\right) \)

\( \Large \displaystyle = - \frac{1}{4} \left( e^{2ix} + e^{-2ix} - 1 -1 \right) \)

\( \Large \displaystyle = \frac{1}{4} \left\{ 2- (e^{2ix} + e^{-2ix}) \right\} \)

\( \Large \displaystyle = \frac{1}{4} \left\{ 2- 2 \ cos (2x) \right\} \)

\( \Large \displaystyle = \frac{1-cos (2x)}{2} \)

となり，周期はπ，で半分となります．しかし，2πで周期を持つことに変わりはありません．

・周期関数を周期の範囲で積分した場合，積分範囲をシフトしても結果が変わらない

周期Tである関数，f(x)，を考えます．Tの周期の幅で積分する場合，

\( \Large \displaystyle \int_a^{a+T} f(x) \ dx = \int_0^T f(x) \ dx \)

であることを証明すればいいのです．． 変数変換して，

\( \Large \displaystyle u = x - a \)

\( \Large \displaystyle du = dx \)

\( \Large \displaystyle a \sim x \sim a + T \)

\( \Large \displaystyle 0 \sim u \sim T \)

\( \Large \displaystyle \int_a^{a+T} f(x) \ dx = \int_0^T f(u) \ du = \int_0^T f(x) \ dx \)

となり，始点aによらず一定となることがわかります．

次に，フーリエ級数展開に重要な，三角関数の積の積分と直交性について，を検証していきます．