フーリエ級数展開-02

次に，フーリエ級数展開，においていちばん重要な，直交性，についてまとめてみようと思います．この公式は，

　異なる周波数の三角関数の積の積分（周期）は0になる

というものです．実際に確認していきましょう．

・cos × cos

まず計算を簡単にするために，周期Tを2π，とします．

\( \Large \displaystyle \int_0^{T} cos \ \frac{2 \pi mx}{T} \cdot cos \ \frac{2 \pi mx}{T} \ dx \)

\( \Large \displaystyle = \int_0^{2 \pi} cos \ (mx) \cdot cos \ (nx) \ dx \)

を求めていきます．三角関数の公式から，

\( \Large \displaystyle cos \ (mx) \cdot cos \ (nx) = \frac{1}{2} \left[ cos \{(m+n) x \} + cos \{ (m-n) x \} \right] \)

より，

\( \Large \displaystyle \int_0^{2 \pi} cos \ (mx) \cdot cos \ (nx) \ dx = \int_0^{2 \pi} \frac{1}{2} \left[ cos \{ (m+n)x \} + cos \{(m-n)x \} \right] \ dx \)

\( \Large \displaystyle = \frac{1}{2} \int_0^{2 \pi} cos \{ (m+n)x \} \ dx + \frac{1}{2} \int_0^{2 \pi} cos \{ (m-n)x \} \ dx\)

\( \Large \displaystyle = \frac{1}{2} \left[ \frac{ sin \{ (m+n)x \} }{m+n} \right]_0^{2 \pi}
+ \frac{1}{2} \left[ \frac{ sin \{ (m-n)x \} }{m-n} \right]_0^{2 \pi} \)

\( \Large \displaystyle = \frac{sin \ 2 \pi (m+n)}{2(m+n)} + \frac{sin \ 2 \pi (m-n)}{2(m-n)}\)

sin関数に，2π，が入っているので，
　m+n, m-n，が整数，かつ，m≠n，の場合，この計算は０となる
事がわかります．

しかし，sin(nπ）も０ですね，つまり，m=1.5, n=0.5でもm+n, m-n，は整数となりますので，
　0, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 2.5 .....
という2m, 2nが整数の場合にも０となります．

ですが，フーリエ級数展開の場合には，ｎを整数として計算しますので，異なる周期の場合の積は０となります．

・sin × sin

この場合にも，三角関数の公式から，

\( \Large \displaystyle sin \ (mx) \cdot sin \ (nx) = \frac{1}{2} \left[ cos \{(m-n) x \} - cos \{ (m+n) x \} \right] \)

となり，符号が異なるだけなので，cos×cosの場合と同様，この計算は０となります．

・sin × cos

この場合にも，三角関数の公式から，

\( \Large \displaystyle sin \ (mx) \cdot cos \ (nx) = \frac{1}{2} \left[ sin \{(m+n) x \} + sin \{ (m-n) x \} \right] \)

となります

\( \Large \displaystyle \int_0^{2 \pi} sin \ (mx) \cdot cos \ (nx) \ dx = \int_0^{2 \pi} \frac{1}{2} \left[ sin \{ (m+n)x \} + sin \{(m-n)x \} \right] \ dx \)

\( \Large \displaystyle = \frac{1}{2} \left[ \frac{ -cos \{ (m+n)x \} }{m+n} \right]_0^{2 \pi}
+ \frac{1}{2} \left[ \frac{ -cos \{ (m-n)x \} }{m-n} \right]_0^{2 \pi} \)

\( \Large \displaystyle = -\frac{1}{2} \left\{ \frac{ cos \{ 2 \pi (m+n) \}-1 }{m+n} + \frac{ cos \{ 2 \pi (m-n) \}-1 }{m-n}\right\} \)

m≠n，かつ整数の場合，

\( \Large \displaystyle -\frac{1}{2} \left\{ \frac{ cos \{ 2 \pi (m+n) \}-1 }{m+n} + \frac{ cos \{ 2 \pi (m-n) \}-1 }{m-n}\right\}
= -\frac{1}{2} \left\{ \frac{1-1 }{m+n} + \frac{ 1-1 }{m-n}\right\} =0 \)

m=n，かつ整数の場合も，

\( \Large \displaystyle -\frac{1}{2} \left\{ \frac{ cos \{ 2 \pi (m+n) \}-1 }{m+n} + \frac{ cos \{ 2 \pi (m-n) \}-1 }{m-n}\right\}
= -\frac{1}{2} \left\{ \frac{1-1 }{m+n} + \frac{ 1-1 }{m-n}\right\} =0 \)

となり，この計算は０となります．

次は，いよいよ，フーリエ級数展開，です．