フーリエ級数展開-03
次に，フーリエ級数展開，の計算を行っていくのですが，フーリエ級数展開とは，
どんな（周期）関数も様々な周波数の合成で再現できる
というものが私の理解です（間違っていたらごめんなさい）
ある周期，T，をもつ関数，f(x)，は，以下の式で再現できる，というものです．
\( \Large \displaystyle f(x) = \color{red}{\frac{a_0}{2}} + \sum_{n=1}^{ \infty} \left( a_n \ cos \frac{2 \pi n x}{T} + b_n \ sin \frac{2 \pi n x}{T}\right) \)
というもので，定数＋余弦波＋正弦波，で表すことができる，というものです．
ここで，各定数は，
\( \Large \displaystyle a_0 = \color{red}{\frac{2}{T}} \int_0^T f(x) \ dx \)
\( \Large \displaystyle a_n = \frac{2}{T} \int_0^T f(x) \ cos \frac{2 \pi n x}{T} \ dx \)
\( \Large \displaystyle b_n = \frac{2}{T} \int_0^T f(x) \ sin \frac{2 \pi n x}{T} \ dx \)
で計算できます．ここで，ｎ，は整数となります．
ここから，係数の導出に入っていきますが，教科書によってはa0の定義が異なることがあります．
\( \Large \displaystyle f(x) = \color{red}{a_0} + \sum_{n=1}^{ \infty} \left( a_n \ cos \frac{2 \pi n x}{T} + b_n \ sin \frac{2 \pi n x}{T}\right) \)
各定数は，
\( \Large \displaystyle a_0 = \color{red}{\frac{1}{T}} \int_0^T f(x) \ dx \)
\( \Large \displaystyle a_n = \frac{2}{T} \int_0^T f(x) \ cos \frac{2 \pi n x}{T} \ dx \)
\( \Large \displaystyle b_n = \frac{2}{T} \int_0^T f(x) \ sin \frac{2 \pi n x}{T} \ dx \)
となります．
前者のほうが，各係数の数式が一致して気持ちがいいですが，複素数表示をする場合には後者から始めたほうがわかりやすくなります．
・a0，の推定
まずは，
\( \Large \displaystyle f(x) = \color{red}{\frac{a_0}{2}} + \sum_{n=1}^{ \infty} \left( a_n \ cos \frac{2 \pi n x}{T} + b_n \ sin \frac{2 \pi n x}{T}\right) \)
の式から．両辺を０からTまで積分すると，
\( \Large \displaystyle \int_0^T f(x) \ dx = \int_0^T \left[ \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{ \infty} \left( a_n \ cos \frac{2 \pi n x}{T} + b_n \ sin \frac{2 \pi n x}{T}\right) \right] \ dx \)
\( \Large \displaystyle = \int_0^T \frac{a_0}{2} \ dx + \int_0^T \sum_{n=1}^{ \infty} \left( a_n \ cos \frac{2 \pi n x}{T} + b_n \ sin \frac{2 \pi n x}{T}\right) \ dx \)
第二項，第三項は，このページの，”三角関数の一周期の積分”から，０となりますので，
\( \Large \displaystyle \int_0^T f(x) \ dx = \int_0^T \frac{a_0}{2} \ dx = \frac{a_0}{2} \ T \)
\( \Large \displaystyle a_0 = \color{red}{\frac{2}{T}} \int_0^T f(x) \ dx \)
となります．
次に，
\( \Large \displaystyle f(x) = \color{red}{a_0} + \sum_{n=1}^{ \infty} \left( a_n \ cos \frac{2 \pi n x}{T} + b_n \ sin \frac{2 \pi n x}{T}\right) \)
の式から．両辺を０からTまで積分すると，
\( \Large \displaystyle \int_0^T f(x) \ dx = \int_0^T \left[ a_0 + \sum_{n=1}^{ \infty} \left( a_n \ cos \frac{2 \pi n x}{T} + b_n \ sin \frac{2 \pi n x}{T}\right) \right] \ dx \)
\( \Large \displaystyle = \int_0^T a_0 \ dx + \int_0^T \sum_{n=1}^{ \infty} \left( a_n \ cos \frac{2 \pi n x}{T} + b_n \ sin \frac{2 \pi n x}{T}\right) \ dx \)
第二項，第三項は，このページの，”三角関数の一周期の積分”から，０となりますので，
\( \Large \displaystyle \int_0^T f(x) \ dx = \int_0^T a_0 \ dx = a_0 \ T \)
\( \Large \displaystyle a_0 = \color{red}{\frac{1}{T}} \int_0^T f(x) \ dx \)
となります．
次ページに，an，bn，について考えていきます．