ランダム過程における自己相関関数について-04

自己相関，a=a, d=dの場合

次に，a=a, d=dの場合の一般解を求めます．この場合の係数は，

\(\Large A_{A \rightarrow A} : a^2 \cdot P_0 \left[P_0 + ( 1- P_0) \cdot exp \left( - \frac{t}{ \tau} \right) \right] = a^2 \cdot P_0^2 + a^2 \cdot P_0 \cdot ( 1- P_0) \cdot exp \left( - \frac{t}{ \tau} \right)\)

\(\Large A_{A \rightarrow D} : ad \cdot P_0 \cdot (1-P_0) \cdot \left[ 1 - exp \left( - \frac{t}{ \tau} \right) \right] = ad \cdot P_0 \cdot (1-P_0) - ad \cdot P_0 \cdot ( 1- P_0) \cdot exp \left( - \frac{t}{ \tau} \right) \)

\(\Large A_{D \rightarrow A} : ad \cdot ( 1 - P_0) \cdot P_0 \cdot \left[ 1 - exp \left( \frac{t}{ \tau} \right) \right] = ad \cdot P_0 \cdot (1-P_0) - ad \cdot P_0 \cdot ( 1- P_0) \cdot exp \left( - \frac{t}{ \tau} \right) \)

\(\Large A_{D \rightarrow D} : d^2 \cdot ( 1 - P_0) \cdot \left[ 1 - P_0 \cdot \left( 1 - exp \left( \frac{t}{ \tau} \right) \right) \right] = d^2 \cdot (1-P_0)^2 + d^2 \cdot P_0 \cdot ( 1- P_0) \cdot exp \left( - \frac{t}{ \tau} \right) \)

ここで，指数がかかっていない項の合計は，

\(\Large a^2 \cdot P_0^2 + 2 \cdot ad\cdot P_0 \cdot ( 1 - P_0 ) + d^2 \cdot ( 1 - P_0 )^2 = \left[ a \cdot P_0 + d \cdot (1 - P_0 ) \right]^2 \)

となります．

指数がかかっている項は，

\(\Large (a^2 - 2 \cdot ad + d^2) \cdot P_0 \cdot ( 1 - P_0 ) = (a - d)^2 \cdot P_0 \cdot ( 1 - P_0 ) \)

となりますので，

\(\Large <f(t) f(t+ \tau)> = \left[ a \cdot P_0 + d \cdot (1 - P_0 ) \right]^2 + (a - d)^2 \cdot P_0 \cdot ( 1 - P_0 )　\cdot exp \left( - \frac{t}{ \tau} \right) \)

となります．まとめると，

　単純なON・OFF，Attach・Detachなどの遷移の場合には，自己相関は単純な指数関数の減少となる

　τ=無限大の場合の値はそのトレースの平均の２乗値となる

事がわかります．

では，この波形のパワースペクトルはどうなるのでしょう？

これは，以前に記しました，トラップされたビーズの運動方程式の自己相関関数が指数関数となり，今回と全く同じなのでこれを用いれば，

　ローレンツ型

となります．

では，単純な一次反応で示されるような反応ではなく，逐次反応の場合にはどうなるのでしょう？

次ページ以降に説明します．