パワースペクトルの実際の作業内容-12

　トラップされたビーズのブラウン運動の場合

トラップされたビーズのブラウン運動の場合は，ここで説明したように，メトロポリス法を用います．

では実際に確かめてみましょう．

元データ
　トラップされたビーズのブラウン運動
　実際の波形の時間 (s)　：　S_time = 262.144 s
　サンプル周波数 (1/s)　：　S_freq = 20,000 kHz
　サンプル時間分解能 (s)　：　dt = 0.00005 ms
　実際の波形の数　：　n = 8388608 = 2²³
　FFTサイズ　：　1024

とサンプル周波数（およびサンプル時間分解能）を一桁上げています．

それは，トラップされたビーズのブラウン運動の場合，当分配の法則から，

\(\Large \displaystyle \frac{1}{2} \ K <x^2> = = \frac{1}{2} \ k_B \ T \)

　K　：　ばね定数 (pN/nm)
　<x² > 　：　ゆらぎの二乗変位 (nm²)
　k_B　：　ボルツマン定数
　T　：　絶対温度

の関係にあるためで，また，ここ，にあるように，dtとdxとの関係は，拡散の式から，

\(\Large \displaystyle dt = \frac{<x^2> }{2D} \)

\(\Large \displaystyle D = \frac{k_B T}{ \gamma} \)

\(\Large \displaystyle \gamma = 6 \pi \ \eta \ r \)　（球の場合）

　D　：　拡散係数 (nm²/s)
　η　：　粘度 (N/s)
　ｒ　：　球の半径 (nm)

ので，dxは，

\(\Large \displaystyle dx = \sqrt{ <x^2> } = \sqrt{2 \times \frac{k_B T}{ 6 \pi \ \eta \ r} \times dt} \)

で決まります．

したがって，上記の条件では，
　dx = 4.69 nm
となります．

さて，トラップされたビーズのブラウン運動の場合，パワースペクトルはローレンツ型となりますが，

\(\Large \displaystyle \Phi (f) = \frac{ \Phi(0)}{1 + \left( \frac{f}{f_c} \right)^2}\)

ここで，

\(\Large \displaystyle \Phi (0) = \frac{ 2 \ k_B T \ \gamma}{k^2}\)

\(\Large \displaystyle f_c = \frac{ K}{2 \pi \ \gamma}\)

です．

実際に作成してみると，

となります．

ここで，

\(\Large \displaystyle K = 0.01 pN/nm \)

としたので，

\(\Large \displaystyle <x^2> = \frac{k_B T}{K} = \frac{4.14 \times 10^{-21} Nm}{0.01 \times 10^{-3} N/m} = 414 \ nm^2 \)

と理論上計算できます．実際の波形の分散値は，
　413.41 nm²
となり，一致していることがわかります．

これを，
　100-10000 Hz
　10-100 Hz
　1-10 Hz
で分けて考えてみます．

このようなパラメータでローパス，間引き，加算平均を掛けてみます．

上から，
　100-10000 Hz
　10-100 Hz
　1-10 Hz
となります．

このデータを各周波数帯で切り取り，融合させると，

という形となり，

\(\Large \displaystyle \Phi (f) = \frac{ \Phi(0)}{1 + \left( \frac{f}{f_c} \right)^2}\)

どおりのカーブとなり，

ここで，

\(\Large \displaystyle \Phi (0) = 3.121 nm^2 / Hz\)

\(\Large \displaystyle f_c = 84.43 Hz\)

の理論値とぴったりフィットします．

ちなみに，dt = 0.0005 sと10倍荒くして計算すると，ローレンツ型にはなりますが，Φ(0)，f_cの値それぞれが若干くるってきます．

dx = 14.8 nm

とビーズのブラウン運動をシミュレートするには荒すぎたのですね．

最後にまとめです．