逐次反応における自己相関関数について-03

自己相関

自己相関の計算だが，ここでは逐次反応が起こる，起こらないの計算なので， 　

　　起こる：+１ 　

　　起こらない：－１

と考えていると想像できます．そうすることによって自己相関は無限大において０となりますね． 場合分けを考えると，

となり，偶数回のイベントでは相関が+1，奇数回のイベントでは-1となります．

つまり，相関は 　相関　＝　偶数回のイベント　―　奇数回のイベント を計算すれば良いことになります．

つまり，偶数（even），偶数（odd）はそれぞれ，

\(\Large prob \left[ m \ even \right] =　\frac{1}{r} \displaystyle \sum_{ i = 0 }^{ r } \displaystyle \sum_{ j = 0 }^{ r-i} P_j
+\frac{1}{r} \displaystyle \sum_{ n = 0 }^{ \infty } \displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ r } \displaystyle \sum_{ j = 1 }^{ r} P_{(2n+2)-i+j}\)

\(\Large prob \left[ m \ odd \right] =　\frac{1}{r} \displaystyle \sum_{ n = 0 }^{ \infty } \displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ r } \displaystyle \sum_{ j = 1 }^{ r} P_{(2n+1)-i+j}\)

となります．

自己相関，B（τ）は，

\(\Large \begin{eqnarray} B( \tau)
&=& prob \left[ m \ even \right] - prob \left[ m \ odd \right] \\
&=&\frac{1}{r} \displaystyle \sum_{ i = 0 }^{ r } \displaystyle \sum_{ j = 0 }^{ r-i} P_j
+\frac{1}{r} \displaystyle \sum_{ n = 0 }^{ \infty } \displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ r } \displaystyle \sum_{ j = 1 }^{ r} P_{(2n+2)-i+j}
- \frac{1}{r} \displaystyle \sum_{ n = 0 }^{ \infty } \displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ r } \displaystyle \sum_{ j = 1 }^{ r} P_{(2n+1)-i+j} \\
&=& \frac{1}{r} \left[ \displaystyle \sum_{ i = 0 }^{ r } \displaystyle \sum_{ j = 0 }^{ r-i} P_j +\displaystyle \sum_{ n = 0 }^{ \infty } \displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ r } \displaystyle \sum_{ j = 1 }^{ r} \left( P_{(2n+2)-i+j} - P_{(2n+1)-i+j} \right) \right] \\
\end{eqnarray}　\)　

となるのです．パワースペクトル，S(ω)はこの自己相関のフーリエ変換なので，

\(\Large S( \omega) = 2 \ \displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } B( \tau) \ cos \ \omega \ \tau \ d \tau \)

となります．

次ページに，実際の計算と実験結果を比較していきましょう．