逐次反応における自己相関関数について-02

r回の逐次反応が起こる確率

次に,t秒からt+τ秒の間にr回の逐次反応が起こる確率を求めましょう. つまり, 反応の回数がr回起こらないと反応が起こらないので,

0
r-1
逐次反応は起こらない
r
2r-1

1回逐次反応が起こる

2r
3r-1
2回逐次反応が起こる

となります.

ただし,この計算は,τ秒前にイベントが起こっていない場合です.

すでに観測しているτ秒の間より以前に逐次反応が進行中かもしれない.

なので, すでに1回各反応が起こっている場合には,

0
r-2
逐次反応は起こらない
r-1
2r-2

1回逐次反応が起こる

2r-1
3r-2
2回逐次反応が起こる

となるのです.同様に,すでに2回,すでに3回,といろいろな場合が想定されます.

ですので,この平均を取ればよいわけです.

これをまとめると,1回も起こらない確率(mはこの逐次反応が起こる確率)は,

\(\Large prob \left[ m=0 \ in \ interval (t, t + \tau) \right] =
\begin{bmatrix} & (P_0 + P_1 + \cdots + P_{r-1}) \\
+ & (P_0 + P_1 + \cdots + P_{r-2}) \\
+ & \cdots \\
+ & P_0 \\ \end{bmatrix} \)

となります.書き換えると,

\(\Large prob \left[ m=0 \ in \ interval (t, t + \tau) \right] = \frac{1}{r} \displaystyle \sum_{ i = 0 }^{ r } \displaystyle \sum_{ j = 0 }^{ r-i} P_j \)

となります.

 

同様に,1回起こる確率は,

\(\Large prob \left[ m=1 \ in \ interval (t, t + \tau) \right] =
\begin{bmatrix} & (P_r + P_{r+1} + \cdots + P_{2r-1}) \\
+ & (P_{r-1} + P_r + \cdots + P_{2r-2}) \\
+ & \cdots \\
+ & P_1 + P_2+ \cdots + P_r \\ \end{bmatrix} \)

となります.書き換えると,

\(\Large \hspace{ 210pt } = \frac{1}{r} \displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ r } \displaystyle \sum_{ j = 1 }^{ r} P_{r-i+j} \)

となります.

 

同様に,2回起こる確率は,

\(\Large prob \left[ m=2 \ in \ interval (t, t + \tau) \right] =
\begin{bmatrix} & (P_{2r} + P_{2r+1} + \cdots + P_{3r-1}) \\
+ & (P_{2r-1} + P_{2r} + \cdots + P_{3r-2}) \\
+ & \cdots \\
+ & P_{r+1} + P_{r+2}+ \cdots + P_{2r} \\ \end{bmatrix} \)

となります.書き換えると,

\(\Large \hspace{ 210pt } = \frac{1}{r} \displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ r } \displaystyle \sum_{ j = 1 }^{ r} P_{2r-i+j} \)

となります.

 

つまり,m回起こる確率(m=0を除く)は,

\(\Large prob \left[ m, \ m \ integer >0 \ in \ interval (t, t + \tau) \right] = \frac{1}{r} \displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ r } \displaystyle \sum_{ j = 1 }^{ r} P_{rm-i+j} \)

と書くことができます.

 

次ページに,自己相関の導き出し方を計算していきましょう.

 

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