減衰振動_ステップ応答-01

運動方程式からのステップ応答

ステップ応答した場合の減衰振動について計算していきましょう．

今回は，ここ，ここ，を参考にしました．

まずは，一般的な2階微分方程式から，

\( \Large a \ x'' + b \ x' + c \ x = f \)

右辺が0の場合には，ここ，に記載したようにある程度簡単に解けるのですが，右辺が面倒ですね．

このような，非斉次微分方程式は，特殊解と一般解の和で決まることになります．

特殊解

そこで，t=無限大，の場合に微分項が0となるような減衰があるとすると，

\( \Large 0 + 0 + c \ x_p = f \)

\( \Large x_p = \frac{f}{c} \)

となります．これを，特殊解，と呼びます．

一般解

一般解は，右辺を0とおいて導き出すことができます．

\( \Large a \ x'' + b \ x' + c \ x = 0 \)

\( \Large x_g = e^{ \lambda t} \)

とすると，

\( \Large a \lambda^2 e^{ \lambda t}+b \lambda e^{ \lambda t}+c e^{ \lambda t} =0 \)

\( \Large e^{ \lambda t} \left[ a \lambda^2+b \lambda +c \right] =0 \)

となるので[]内が0となればいいので，

\( \Large \lambda_+, \ \lambda_- = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-b \pm \ j \sqrt{4ac-b^2}}{2a}\)

となります．

したがって，一般解は，

\( \Large x_g = c_1 \ e^{ \lambda_+ t} + c_2 \ e^{ \lambda_- t} \)

となります．

ここで，簡単にするために，

\( \Large \alpha \equiv \frac{b}{2a} \)

\( \Large \omega \equiv \frac{ \sqrt{4ac- b^2}}{2a} \)

とすると，

\( \Large \lambda_{\pm} = - \alpha \pm j \omega \)

となります，

従って，解は，

\( \Large x = x_p + x_g \)

を計算することになります．

\( \Large \begin{eqnarray} \Large x &=& \frac{f}{c} + c_1 \ e^{\lambda_{+} t} + c_2 \ e^{\lambda_{-} t} \\
&=& \frac{f}{c} + c_1 \ e^{- (\alpha + j \omega) t} + c_2 \ e^{- (\alpha - j \omega) t}\\
\end{eqnarray} \)

次ページに，n=3，の場合を計算してみます．