減衰振動_ステップ応答-01

運動方程式からのステップ応答

 

ステップ応答した場合の減衰振動について計算していきましょう.

今回は,ここここ,を参考にしました.

まずは,一般的な2階微分方程式から,

\( \Large a \ x'' + b \ x' + c \ x = f \)

右辺が0の場合には,ここ,に記載したようにある程度簡単に解けるのですが,右辺が面倒ですね.

このような,非斉次微分方程式は,特殊解と一般解の和で決まることになります.

 

特殊解

そこで,t=無限大,の場合に微分項が0となるような減衰があるとすると,

\( \Large 0 + 0 + c \ x_p = f \)

\( \Large x_p = \frac{f}{c} \)

となります.これを,特殊解,と呼びます.

 

一般解

一般解は,右辺を0とおいて導き出すことができます.

\( \Large a \ x'' + b \ x' + c \ x = 0 \)

\( \Large x_g = e^{ \lambda t} \)

とすると,

\( \Large a \lambda^2 e^{ \lambda t}+b \lambda e^{ \lambda t}+c e^{ \lambda t} =0 \)

\( \Large e^{ \lambda t} \left[ a \lambda^2+b \lambda +c \right] =0 \)

となるので[]内が0となればいいので,

\( \Large \lambda_+, \ \lambda_- = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-b \pm \ j \sqrt{4ac-b^2}}{2a}\)

となります.

したがって,一般解は,

\( \Large x_g = c_1 \ e^{ \lambda_+ t} + c_2 \ e^{ \lambda_- t} \)

となります.

ここで,簡単にするために,

\( \Large \alpha \equiv \frac{b}{2a} \)

\( \Large \omega \equiv \frac{ \sqrt{4ac- b^2}}{2a} \)

とすると,

\( \Large \lambda_{\pm} = - \alpha \pm j \omega \)

となります,

従って,解は,

\( \Large x = x_p + x_g \)

を計算することになります.

\( \Large \begin{eqnarray} \Large x &=& \frac{f}{c} + c_1 \ e^{\lambda_{+} t} + c_2 \ e^{\lambda_{-} t} \\
&=& \frac{f}{c} + c_1 \ e^{- (\alpha + j \omega) t} + c_2 \ e^{- (\alpha - j \omega) t}\\
\end{eqnarray} \)

 

次ページから初期値を設定して計算を続けます.

 

 

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