減衰振動-01

運動方程式からの減衰振動

減衰振動に関しては，いろいろなサイトで紹介されていますが，自分なりにまとめてみました．

ニュートンの運動方程式は，

\( \Large m \frac{d^2 x}{dt^2} + b \frac{dx}{dt} + K x =0 \)

ここで，
　m：質量
　b：粘性抵抗係数
　K：弾性率
でした．

ここからある初期値からどのように減衰していくかを検討していきましょう．

簡単に，両辺をｍで割って，

\( \Large \frac{d^2 x}{dt^2} +\frac{ b}{m} \frac{dx}{dt} +\frac{ K}{m} x =0 \)

ここで簡単にするために，

\( \Large \gamma = \frac{b}{2m} \)

\( \Large \omega_0 = \sqrt{\frac{K}{m}} \)

とすると，

\( \Large \frac{d^2 x}{dt^2} +2 \gamma \frac{dx}{dt} +\omega_0^2 x =0 \)

となります．

ここで，この式の解が，\( \Large e^{\lambda t} \) となるとします．

これは，1階，2階，そのままの項が式の中に入っているからです．
微分しても同じもの，と考えると指数関数が妥当だと推定できます．
厳密は説明は，ここ，に詳しく記載されていますので参考にしてみてください．

\( \Large e^{\lambda t} \) を先ほどの式に代入すると，

\( \Large \lambda^2 e^{\lambda t} +2 \gamma \lambda e^{\lambda t} +\omega_0^2 e^{\lambda t} =0 \)

となります．両辺を\( \Large e^{\lambda t} \)で割ると，

\( \Large \lambda^2 +2 \gamma \lambda +\omega_0^2 =0 \)

と普通の方程式となります．方程式の公式，

\( \Large a x^2 +b x +c=0 \)

\( \Large x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \)

から，

\( \Large \lambda = - \gamma \pm \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2} \)

となります．

±の二つの解があり，定数（初期値に依存）を加えてその和が解となりますので，

\( \Large x = A \ e^{(- \gamma + \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2}) t} \)

\( \Large x = B \ e^{(- \gamma - \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2}) t} \)

\( \Large \begin{eqnarray} x &=& A \ e^{(- \gamma + \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2}) t} +B \ e^{(- \gamma - \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2}) t} \\
&=& e^{- \gamma t} \left[ A \ e^{ \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2} t} +B \ e^{ - \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2} t} \right] \\
\end{eqnarray}　\)

この式は，平方根の中が，正，負，0によってその性質は大きく変わります．

次のページに，それぞれの場合についての計算を行います．