eix=i sin x + cos xの導き出し方
マクローリン展開の，sin波の場合，cos波の場合にあるように，
\( \Large \displaystyle sin \ x = x - \frac{1}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot x^3 + \frac{1}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot x^5 + \cdots \)
\( \Large \displaystyle cos \ x = 1 - \frac{1}{ 2 \cdot 1} \cdot x^2 + \frac{1}{ 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot x^4 + \cdots \)
と，sin波，cos波，は交互にべき乗の値の和となります．
また，指数関数eixのマクローリン展開は，
\( \Large \displaystyle e^{ix} = \frac{1}{1} \cdot 1 + \frac{i}{1} \cdot x - \frac{1}{ 2 \cdot 1} \cdot x^2 -\frac{i}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot x^3 + \frac{1}{ 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot x^4 + \frac{i}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot x^5 + \cdots \)
\( \Large \displaystyle = \left[ 1 - \frac{1}{ 2 \cdot 1} \cdot x^2 + \frac{1}{ 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot x^4 + \cdots \right]
+ i \left[ x -\frac{1}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot x^3 + \frac{1}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot x^5 + \cdots \right] \)
と実数部分と虚数部分に分けることができます．つまり，
\( \Large \displaystyle e^{ix} = \left[ 1 - \frac{1}{ 2 \cdot 1} \cdot x^2 + \frac{1}{ 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot x^4 + \cdots \right]
+ i \left[ x -\frac{1}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot x^3 + \frac{1}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot x^5 + \cdots \right] \)
\( \Large \displaystyle = cos \ x + i \ sin \ x \)
となって，eix=i sin x + cos x，を導き出すことができました．
さて，次に， eiπ=-1， を導き出しましょう．