マクローリン展開-03
次は，
余弦波
つまり，cos波，について考えていきましょう．
f(x)=cos x，とすると，
\(\Large \displaystyle f(x) = cos \ x \hspace{55pt} f(0) = 1 \)
\(\Large \displaystyle f'(x) = - sin \ x \hspace{40pt} f'(0) = 0 \)
\(\Large \displaystyle f''(x) = - cos \ x \hspace{35pt} f''(0) = -1 \)
\(\Large \displaystyle f'''(x) = sin \ x \hspace{42pt} f'''(0) = 0 \)
\(\Large \displaystyle f''''(x) = cos \ x \hspace{40pt} f''''(0) = 1 \)
のように，4回周期で値が変化します．従って，
\(\Large \displaystyle f(x) = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^i \)
\(\Large \displaystyle = \frac{1}{1} \cdot 1 + \frac{0}{1} \cdot x - \frac{1}{2 \cdot 1} \cdot x^2 - \frac{0}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot x^3 + \frac{1}{ 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot x^4
+ \frac{0}{ 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot x^5 \cdots \)
\(\Large \displaystyle = 1 - \frac{1}{ 2 \cdot 1} \cdot x^2 + \frac{1}{ 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot x^4 \cdots \)
のように，iが奇数の場合のみ値を持つ和となります．
次は，指数関数，eixを考えていきましょう．