マクローリン展開-02

まずは，
　正弦波
つまり，sin波，について考えていきましょう．

f(x)=sin x，とすると，

\(\Large \displaystyle f(x) = sin \ x \hspace{50pt} f(0) = 0 \)

\(\Large \displaystyle f'(x) = cos \ x \hspace{45pt} f'(0) = 1 \)

\(\Large \displaystyle f''(x) = - sin \ x \hspace{30pt} f''(0) = 0 \)

\(\Large \displaystyle f'''(x) = - cos \ x \hspace{28pt} f'''(0) = -1 \)

\(\Large \displaystyle f''''(x) = sin \ x \hspace{35pt} f''''(0) = 0 \)

のように，4回周期で値が変化します．従って，

\(\Large \displaystyle f(x) = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^i \)

\(\Large \displaystyle = \frac{0}{1} \cdot 1 + \frac{1}{1} \cdot x + \frac{0}{2 \cdot 1} \cdot x^2 - \frac{1}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot x^3 + \frac{0}{ 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot x^4
+ \frac{1}{ 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot x^5 \cdots \)

\(\Large \displaystyle = x - \frac{1}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot x^3 + \frac{1}{ 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot x^5 \cdots \)

のように，iが奇数の場合のみ値を持つ和となります． 図示すると，

のように，0点を中心に，徐々に正弦波に近づいていくことがわかります．

次は，余弦波，cos波を考えていきましょう．