マクローリン展開-01

数学ではいろいろな展開方式があります．
フーリエ展開，テイラー展開等々．．．．
その中で，フーリエ展開に関しては，フーリエ変換，として説明しました．

今回は，マクローリン展開について説明したいと思います．
マクローリン展開とは，
　任意の関数ををべき級数で表すもの
というものです．つまり，

\(\Large \displaystyle f(x) = a_0 + a_1 \cdot x + a_2 \cdot x^2 +a_3 \cdot x^3 + a_4 \cdot x^4 \cdots \)

のような形ですね．

問題は，いかにして，a₀, a₁, a₂.....を表すかですが，順を追って説明しましょう．

まずは，a₀,からです．これは簡単ですね．x=0，のばあいを計算すればよいのです．

\(\Large \displaystyle f(0) = a_0 + a_1 \cdot 0 + a_2 \cdot 0^2 +a_3 \cdot 0^3 + a_4 \cdot 0^4 + \cdots = a_0 \)

次は，a₁,からです．今度はf(x)を一度微分して．x=0，のばあいを計算すればよいのです．

\(\Large \displaystyle f'(x) = a_1 + 2 \cdot a_2 \cdot x +3 \cdot a_3 \cdot x^2 + 4 \cdot a_4 \cdot x^3 + \cdots \)

\(\Large \displaystyle f'(0) = a_1 \)

同様に，a₂，に関しては，二回微分すればよく，

\(\Large \displaystyle f''(x) = 2 \cdot a_2 +3 \cdot 2 \cdot a_3 \cdot x + 4 \cdot 3 \cdot a_4 \cdot x^2 + \cdots \)

\(\Large \displaystyle f''(0) = 2 \cdot a_2 \)

a₃は三回微分，

\(\Large \displaystyle f'''(x) = 3 \cdot 2 \cdot a_3 + 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot a_4 \cdot x + \cdots \)

\(\Large \displaystyle f'''(0) = 3 \cdot 2 \cdot a_3 \)

つまり，

\(\Large \displaystyle f^{(n)}(0) = n! \cdot a_n \)

となるので，

\(\Large \displaystyle a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!} \)

と計算できます．結果として，

\(\Large \displaystyle f(x) = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^i \)

と置くことができます．
マクローリン展開は，x=0，を中心にべき級数で展開したが，
　任意の点，aでのべき級数での展開：テイラー展開
　べき級数ではなく，三角関数：フーリエ展開
と考えることができます（少々乱暴ですが．．．）

次に具体的な関数について，マクローリン展開を行っていきましょう．