マクローリン展開-01
数学ではいろいろな展開方式があります.
フーリエ展開,テイラー展開等々....
その中で,フーリエ展開に関しては,フーリエ変換,として説明しました.
今回は,マクローリン展開について説明したいと思います.
マクローリン展開とは,
任意の関数ををべき級数で表すもの
というものです.つまり,
のような形ですね.
問題は,いかにして,a0, a1, a2.....を表すかですが,順を追って説明しましょう.
まずは,a0,からです.これは簡単ですね.x=0,のばあいを計算すればよいのです.
次は,a1,からです.今度はf(x)を一度微分して.x=0,のばあいを計算すればよいのです.
同様に,a2,に関しては,二回微分すればよく,
a3は三回微分,
つまり,
となるので,
と計算できます.結果として,
と置くことができます.
マクローリン展開は,x=0,を中心にべき級数で展開したが,
任意の点,aでのべき級数での展開:テイラー展開
べき級数ではなく,三角関数:フーリエ展開
と考えることができます(少々乱暴ですが...)
次に具体的な関数について,マクローリン展開を行っていきましょう.