回路-06

指数関数表示

交流の計算は当然ながら，三角関数がたくさん出てきますが，なかなか計算が大変です．公式などもいっぱい出ますので．

そこで，オイラーの公式から，三角関数を指数関数になおして見るととても計算が簡単になります．

・オイラーの公式

オイラーの公式は，

\(\Large e^{ i \theta} = cos \ \theta + i \ sin \ \theta \)

\(\Large e^{ -i \theta} = cos \ \theta - i \ sin \ \theta \)

となるので，

\(\Large cos \ \theta = Re \ \left[e^{ i \theta} \right]\)

\(\Large sin \ \theta = Im \ \left[e^{ i \theta} \right]\)

と考えると計算がとても楽になります．ここで，Re：実数部，Im：虚数部，となります．

しかし，ReとImの違いはsinかcosの違いで，交流回路の場合には特別な場合を除いて， 振動数が変化することはありません．

したがって，実数，虚数を気にせずに，単に指数になおして計算すればいいことになります．

元の三角関数に戻す際は，cos，sinによって実数部，虚数部を使い分ければいいのです（ フェーザー法？ ）

ちなみに，θが特別な場合，

\(\Large e^{ i \frac{ \pi}{ 2} } = cos \ \frac{ \pi}{ 2} + i \ sin \ \frac{ \pi}{ 2} = i \)

となり，虚数を指数で表すことができます．

虚数を，i，と表現していましたが，電気回路では，i：電流，とよく使われ，まぎらわしいので，

　j：虚数

としていますので，これに準拠します．

指数表示

交流電圧は，

\(\Large V(t) = V_0 \ sin ( \omega t) = V_0 \ e^{ j \omega t} \)

コンデンサは，

\(\Large I(t) = C \frac{d V(t)}{dt} = C \frac{d }{dt} V_0 \ e^{ j \omega t} = j \omega C V_0 \ e^{ j \omega t}\)

\(\Large V(t) = \frac{1}{C} \int I(t) dt = \frac{1}{C} \int I_0 \ e^{ j \omega t} = \frac{1}{j \omega C} I_0 \ e^{ j \omega t}\)

インダクタは，

\(\Large V(t) = L \frac{d V(t)}{dt} = L \frac{d }{dt} I_0 \ e^{ j \omega t} = j \omega L I_0 \ e^{ j \omega t}\)

\(\Large I(t) = \frac{1}{L} \int V(t) dt = \frac{1}{L} \int V_0 \ e^{ j \omega t} = \frac{1}{j \omega L} V_0 \ e^{ j \omega t}\)

と簡単になります．

インピーダンス

ここで，直流回路におけるオームの法則を思い出し，

\(\Large V = R \ I \)

の形を考えると，

コンデンサ

\(\Large V(t) = \frac{1}{j \omega C} I_0 \ e^{ j \omega t} = \frac{1}{j \omega C} I(t) \equiv Z \cdot I(t) \)

\(\Large Z = \frac{1}{j \omega C} \)

\(\Large I(t) = \frac{1}{Z} V(t) = j \omega C \ V(t) \)

コイル

\(\Large V(t) = j \omega L \ I_0 \ e^{ j \omega t} = j \omega L \ I(t) = Z \cdot I(t) \)

\(\Large Z = j \omega L \)

\(\Large I(t) = \frac{1}{Z} V(t) = \frac{1}{ j \omega L} \ V(t) \)

この，Z，をインピーダンス，１/Z，をアドミタンス，といい，交流における抵抗値を表すことになります．　

実際に交流回路で計算してみましょう．

コンデンサ

ここ，にあるように，

\(\Large I(t) = \displaystyle C \frac{dV(t)}{dt} = C \frac{d}{dt} V_0 \ e^{ j \omega t} = j \omega C \cdot V_0 \ e^{ j \omega t} \)　

\(\Large = \displaystyle e^{ \frac{ \pi}{ 2}} \omega C \cdot V_0 \ e^{ j \omega t} = \omega C \cdot V_0 \ e^{ j \left(\omega t + \frac{ \pi}{ 2} \right) }\)　

と振幅，位相がちゃんと計算できていることがわかります．

コイル

ここ，にあるように

\(\Large I(t) = \displaystyle \frac{1}{L} \ \int V(t) \ dt= \frac{1}{L} \ \int V_0 \ e^{ j \omega t} \ dt = \frac{1}{j \omega L} \ V_0 \ e^{ j \omega t}+ D \)　

初期条件は，

t=0, I(0) = 0，ですので，

\(\Large I(0) = \displaystyle \frac{1}{j \omega L} \ V_0 \ e^{ j \omega 0}+ D = \frac{1}{j \omega L} \ V_0 e^{ j \omega \cdot 0} + D = 0\)　

\(\Large \displaystyle D = - \frac{1}{j \omega L} \ V_0 \)　

\(\Large I(t) = \displaystyle \frac{1}{j \omega L} \ V_0 \ (e^{ j \omega t} - 1) \)　

\(\Large = \displaystyle \frac{j}{ \omega L} \ V_0 \ (1 - e^{ j \omega t} ) \)　

\(\Large = \displaystyle \frac{j}{ \omega L} \ V_0 - \frac{j}{ \omega L} \ V_0 \ e^{ j \omega t} \)　

\(\Large = \displaystyle \frac{j}{ \omega L} \ V_0 - \frac{1}{ \omega L} \ V_0 \ e^{ j \frac{\pi}{2}} \ e^{ j \omega t} \)　

\(\Large = \displaystyle \frac{j}{ \omega L} \ V_0 - \frac{1}{ \omega L} \ V_0 \ e^{ j ( \omega t + \frac{\pi}{2})} \)　

三角関数に戻すために虚数部分を抜き出すと，

\(\Large Im [I(t)] = \displaystyle \frac{1}{ \omega L} \ V_0 - \frac{1}{ \omega L} \ V_0 \ sin ( \omega t + \frac{\pi}{2}) \)　

\(\Large = \displaystyle \frac{1}{ \omega L} \ V_0 \left\{ 1 - sin ( \omega t + \frac{\pi}{2}) \right\} \)　

と振幅，位相がちゃんと計算できていることがわかります．

次ページは，インピーダンスの意味，について考えていきます．