回路-07

インピーダンスの意味

インピーダンスを使うと格段に計算が楽になります．

これから説明してく，複雑な回路についても結構簡単な式になります．

そのポイントを考えていきます．

一つ注意は，これからの説明はきちんと教科書に載っているわけではなく，自分で悩みながら（AIに質問したり）して何とか納得してったものです．

ですので，間違いがあるかもしれませんので，ご注意を．

さて，インピーダンスにおけるポイントは，

\(\Large V(t) = V_0 \ e^{ j \omega t} \)

\(\Large I(t) = I_0 \ e^{ j \omega t} \)

で表すことができる，というものです．指数部に，位相情報が入っていないですが，係数のV₀, I₀, が複素数なら位相情報を含みます．

例えば，

\(\Large I(t) = I_0 \ e^{ j \omega t} \)

\(\Large I_0 = a + jb \)

とすると，複素平面上で，

\(\Large cos \ \theta = \frac{a}{ \sqrt{a^2 + b^2 }}, \ sin \ \theta = \frac{b}{ \sqrt{a^2 + b^2 }} \)

\(\Large I_0 = a + jb = \sqrt{a^2 + b^2 } \ (cos \ \theta + j \ sin \ \theta ) = \sqrt{a^2 + b^2 } \ e^{ j \ \theta} \)

\(\Large I(t) = I_0 \ e^{ j \omega t} = \sqrt{a^2 + b^2 } \ e^{ j \ \theta} \ e^{ j \omega t} = \sqrt{a^2 + b^2 } \ e^{ j (\omega t + \theta)}\)

となります．ここでポイントは，

　振幅，振動数，位相の情報しかない

ことです．今まで示してきた，C回路，L回路（これに定数が入りますが）ではなく，もう少し複雑な回路だと，

\(\Large I(t) = I_0 \ e^{ j \omega t} + f(t) \)

という余分なものがついてしまいます．しかし，これは一般的に指数関数で減衰する項なので，スイッチオンの過渡現象では現れますが，しばらくたった定常状態（振動しているから定常状態とは言えないが）においては，この余分な項が減衰して０となってしまいます．

一般的に我々が観察しているものは，スイッチと入れてからしばらくたって安定している状態なので，このような過渡現象は必要ないのです．

ですので，インピーダンスの計算で十分であるといえます．

本当に，余分な項は減衰するの？，はきちんと確かめてはいませんが，大丈夫なようです（ChatGPT調べ），ただ，マイナスの抵抗などがあれば，どんどん大きくなっていくようです（ハウリングなどと関係しているのだろうか？）

コンデンサ

\(\Large V(t) = \frac{1}{j \omega C}\cdot I(t) \)

\(\Large I(t) = j \omega C \cdot V(t) \)

コイル

\(\Large V(t) = j \omega L \cdot I(t) \)

\(\Large I(t) = \frac{1}{ j \omega L} \ V(t) \)

これだけ覚えておけばいいことになります．

次ページは，R，C，L回路，それぞれを指数表示にして考えていきます．