回路-08

R，C，L回路，それぞれを指数表示

・R回路

\(\Large I(t) = \displaystyle \frac{V(t)}{R} = \frac{V_0}{R} \ e^{j \omega t} \)　

となるだけです．

・C回路

\(\Large I(t) = j \omega C \cdot V_0 \cdot e^{j \omega t} \)　

ですが，

\(\Large e^{ j \frac{ \pi}{ 2} } = cos \ \frac{ \pi}{ 2} + j \ sin \ \frac{ \pi}{ 2} = j \)

より，

\(\Large I(t) = j \omega C \cdot V_0 \cdot e^{j \omega t} = e^{ j \frac{ \pi}{ 2} } \ \omega C \cdot V_0 \cdot e^{j \omega t} = \omega C \cdot V_0 \cdot e^{j (\omega t + \frac{ \pi}{ 2}) }\)　

となり，三角関数で解いた結果と一致します．

・L回路

\(\Large I(t) = \frac{1}{ j \omega L} \ V_0 \cdot e^{j \omega t} = -\frac{j}{ \omega L} \ V_0 \cdot e^{j \omega t} = - e^{ j \frac{ \pi}{ 2} } \ \frac{1}{ \omega L} \ V_0 \cdot e^{j \omega t}= - \frac{1}{ \omega L} \ V_0 \cdot e^{j (\omega t + \frac{ \pi}{ 2}) }\)

ここで，オイラーの公式，

\(\Large e^{ i \theta} = cos \ \theta + i \ sin \ \theta \)

から，

\(\Large e^{ i \ (- \pi) } = cos \ (- \pi) + i \ sin \ (- \pi) = -1 \)

を使って，

\(\Large I(t) = - \frac{1}{ \omega L} \ V_0 \cdot e^{j (\omega t + \frac{ \pi}{ 2}) } =e^{ i \ (- \pi) } \cdot \frac{1}{ \omega L} \ V_0 \cdot e^{j (\omega t + \frac{ \pi}{ 2}) }
= \frac{1}{ \omega L} \ V_0 \cdot e^{j (\omega t - \frac{ \pi}{ 2}) } \)

となり，三角関数で解いた結果と一致．．．．しそうですが，若干異なります．それは，定数項を無視したからです．

真面目に解くと．．．ここ，に記載しました．

このように，インピーダンスを使うと格段に計算が楽になります．

次ページは，RC直列回路，を指数表示にして考えていきます．