パワースペクトルの実際の作業内容-06

　両対数プロットの問題点，解決策

両対数プロットをとったときの問題点を考えていきましょう．

逆ｆノイズ波形を例にとるとわかりやすいかもしれません．

1/ｆノイズ（ピンクノイズ）を生成するために，
　サンプル（サンプル数） 　　　　　　　　　　　：2048
　ノイズ密度（これはよくわかりません．．．）　：0.1
　指数（たぶん，f^(-n)のｎのこと）　　　　　　：　1
　dt（このアイコン内での設定ではないですが）　：　0.5 ms
で生成した波形に対して，
　FFTサンプル数　：　2048
でパワースペクトルを計算すると

と両対数プロットの場合では，
　高周波に行くに従い，ノイズ（ノイズのノイズ）が大きくなる
　高周波に行くに従い，dfが密になる
　低周波領域では，dfが荒い
ことがわかります．これではなかなか近似がうまくいかなくなりそうですね．
　低周波領域のポイントが少ない
　高周波領域のポイントが多い
ので，近似をすると高周波領域に引っ張られちゃいます．

前々ページにあるように，

　実際の波形の時間 (s)　　：　S_time
　サンプル周波数 (1/s)　　：　S_freq
　サンプル時間分解能 (s)　：　dt
　　実際の波形の数　　　　　：　n

とすると，

\(\Large \displaystyle S_{time} = n \times dt = \frac{n}{S_{freq}} \)

の関係になります．これにフーリエ変換すると，

　フーリエ変換の横軸の最小単位 (Hz)　　　：　df
　フーリエ変換の横軸の数　　　　　　　　：　f_number
　フーリエ変換の横軸のレンジ（最大値）　： 　f_range

とすると，

\(\Large \displaystyle df = \frac{S_{freq}}{n} = \frac{1}{S_{time}}\)

\(\Large \displaystyle f_{number} = \frac{n}{2} \)

\(\Large \displaystyle f_{range} = \frac{S_{freq}}{2} \)

なので，

　dt = 0.0005 ms (S_freq = 2000 1/s)
　n = 2048
　S_time = 0.0005 ms×2048 = 約１S

とすると，

\(\Large \displaystyle df = \frac{2000}{2048} = 0.9766 Hz \)

と，
　1～10 Hzの間に約10ポイント
しかポイントがないことがわかります．

逆に，
　100～10000 Hzの間に約900ポイント
もポイントがあることがわかります．

対数で表示すると同じ幅なのに．．．

直感的にも，
　もっと低周波にポイントを
　高周波のポイントを少なくしてもいい
ことがわかります．

・低周波領域の周波数分解能を上げるにはどうしたらいい？

これは簡単，dfの計算式を見るように，

\(\Large \displaystyle df = \frac{S_{freq}}{n} = \color{red}{\frac{1}{S_{time}}}\)

とにかく計測時間を延ばすことに尽きます．

当然ながら，低周波とはゆっくりとした周期なので長時間データが取ることが必須となります．

ですので，蛍光色素の退色，たんぱくの変性などなかなか厳しいものがあります．

しかし，もし，長時間データを取得できたとしても，別の問題があります．

それは，計算時間の増大，です．

FFTの最初のFは，Fast，であるように，高速計算できるところに特徴があります．しかしそれは，あくまで一般的なフーリエ変換に比べて，です．

こちらのサイトにありますように，FFTの計算時間は，

\(\Large \displaystyle 計算時間 \propto N \ log_2 \left(\frac{N}{2} \right) \)

に比例することが知られています（ちゃんと計算したことはないですが）．

すると，たとえば（比例係数を無視して），

とｎが2倍になっても，2倍以上の計算時間となります．

グラフで表すと，

とDFTに比べるとFFTは圧倒的に計算時間を短縮できますが，いずれも下凸カーブなのでデータ数が多くなると計算時間がどんどん長くなります．

ですので，あまりデータ数が多いと莫大な計算時間がかかってしまいます．

しかし，dfの式をよく見ると，

\(\Large \displaystyle df = \color{red}{\frac{S_{freq}}{n}} = \frac{1}{S_{time}}\)

とあるように，サンプル周波数，S_freq，を下げれば，同じｎであっても，S_time，を伸ばすことができます．

100ポイントであっても，1秒ごとなら100秒，0.1秒ごとなら10秒となるので．

しかし，やみくもにサンプル周波数を下げると，

\(\Large \displaystyle f_{range} = \frac{S_{freq}}{2} \)

今度は高周波領域の解析ができなくなってしまいます．

八方ふさがりですが，一ついい手があります．それは，

　高時間分解能でデータを取得して，あとで間引けばいい

ということ．

1ms間隔でデータを取得して，その後データを間引けば(Decimate)，高周波領域も低周波領域も高い分解能で解析できます．

しかし．．．．そう簡単にはいかないのです．．．．その説明と対策は次ページに