グラジエントゲルの濃度変化-濱元君の解法-02

学部3年生の濱元樹君がグラジエントゲルの濃度変化についての微分方程式を解いてくれました．

その方程式とは，単位時間あたりの流出量をvとすると，

\(\Large C(t + \Delta t) = \frac{C(t) V(t) + \frac{1}{2} v C_L \Delta t - v \Delta t C(t)}{V(t + \Delta t)} \)

となります．

\(\Large C(t + \Delta t) V(t + \Delta t) = C(t) V(t) + \frac{1}{2} v C_L \Delta t - v \Delta t C(t) \)

とすれば，CVは，モルの時間依存，となります．従って，

\(\Large M(t + \Delta t) - M(t) = \frac{1}{2} v C_L \Delta t - v \Delta t C(t) \)

となるので，

\(\Large \frac{dM}{dt} = \frac{1}{2} v C_L - v C(t) \)

と書くことができます．

ここで，\(\Large M =CV \) より，

\(\Large \frac{dM}{dt} = C'V+CV' \)

さらに，

\(\Large V = V_0 - \frac{1}{2} v t \) であるので，

\(\Large \frac{dM}{dt} = C' (V_0 - \frac{1}{2} v t) - \frac{1}{2} v C(t) \)

となります．従って，上記のMの微分を消去すると，，

\(\Large C' (V_0 - \frac{1}{2} v t) - \frac{1}{2} v C(t) = \frac{1}{2} v C_L - v C(t) \)

\(\Large C' (V_0 - \frac{1}{2} v t) = \frac{1}{2} v C_L - \frac{1}{2} v C(t) \)

となります．

変数分離して，

\(\Large \frac{1}{C_L - C(t)} dC = \frac{1}{2} v \frac{1}{V_0 - \frac{1}{2} v t } dt \)

積分すると，

\(\Large -ln (C_L - C(t)) = -ln(V_0 - \frac{1}{2} v t ) +D \)

となります．ここで，D，は積分定数です．

\(\Large ln (C_L - C(t)) = ln(V_0 - \frac{1}{2} v t ) - ln \quad e^D = \frac{ln(V_0 - \frac{1}{2} v t )}{e^D} \)

対数を外すと，

\(\Large C_L - C(t) = \frac{V_0 - \frac{1}{2} v t }{e^D} \)

となります．t=0，でC(0) = C_H となるので，

\(\Large C_L - C_H = \frac{V_0 }{e^D} \)

\(\Large e^D = \frac{V_0}{(C_L - C_H)} \)

となり，

\(\Large C_L - C(t) = \frac{C_L - C_H}{V_0} (V_0 - \frac{1}{2} v t) \)

\(\Large C(t) = \frac{C_H - C_L}{V_0} (V_0 - \frac{1}{2} v t) + C_L \)

\(\Large C(t) = -\frac{1}{2} \frac{v}{V_0}(C_H - C_L) t + C_H \)

となり，時間に対して直線的に濃度が変化していきます．

次は，同じく3回生の林燦碩君の解法です．