グラジエントゲルの濃度変化-01

グラジエントゲルを作成する際に使われる装置は以下となります．

特徴は，
　二つの容器に，それぞれ違う濃度の溶液が入っている
　濃い方の容器に蛇口がある
　二つの容器の底には細いパイプでつながれている
　濃い方の容器にはスターラーがあり，つねに攪拌されて均一な濃度となる
です．

作成の手順は，
　蛇口が開いて，溶液が放出される
　まずは濃い溶液が放出される
　濃い容器の容量が減ると，それに伴い濃度の低い容器から液が補充される
　（常に二つの容器の界面が等しくなる)
　それに伴い，濃い容器の濃度が下がる
となり，徐々に放出される溶液の濃度が下がることになります．

さて，この場合，放出される濃度変化がどのようになっているのでしょうか？
計算してみましょう．

モデルとして，
　濃い溶液の濃度を，C₀，体積をV₀とする
　一定間隔で，a，ずつ放出される
としました．

また，簡単のため，

\(\Large C_L = 0 \)

とおいて式を構築していきましょう．

わかりやすい例を挙げると，
　100℃の温度のお風呂から，バケツ2杯分除く
　0℃の水をバケツ1杯分補填する
を繰り返すと考えると，イメージがつきやすいかもしれません．

数回繰り返した変化を表で表すと，

となっていきます，つまり，

\(\Large c_1 = c_0 \frac{V_0 - a}{V_0 - \frac{1}{2} a} \)

\(\Large c_2 = c_1 \frac{V_1 - a}{V_1 - \frac{1}{2} a} \)

\(\Large c_3 = c_2 \frac{V_2 - a}{V_2 - \frac{1}{2} a} \)

\(\Large c_4 = c_3 \frac{V_3 - a}{V_3 - \frac{1}{2} a} \)

となります．

Vは0.5aずつ減少していくので，ｎ回目には，

\(\Large V_n = V_0 - \frac{n}{2} a \)

と簡単に記述できます．従って，

\(\Large c_1 = c_0 \frac{V_0 - a}{V_0 - \frac{1}{2} a} \)

\(\Large c_2 = c_1 \frac{(V_0 - \frac{1}{2} a) - a}{(V_0 - \frac{1}{2} a) - \frac{1}{2} a} \)

\(\Large c_3 = c_2 \frac{(V_0 - \frac{2}{2} a) - a}{(V_0 - \frac{2}{2} a) - \frac{1}{2} a} \)

\(\Large c_4 = c_3 \frac{(V_0 - \frac{3}{2} a) - a}{(V_0 - \frac{3}{2} a) - \frac{1}{2} a} \)

となります．c2にはc1， c3には，c1，c2を代入すると，

\(\Large c_2 = c_1 \frac{(V_0 - \frac{1}{2} a) - a}{V_0 - \frac{1}{2} a} \)

\(\Large \hspace{16 pt} = c_0 \frac{V_0 - a}{V_0 - \frac{1}{2} a} \frac{V_0 - \frac{3}{2} a}{V_0 - \frac{2}{2} a} \)

\(\Large c_3 = c_2 \frac{(V_0 - \frac{2}{2} a) - a}{(V_0 - \frac{2}{2} a) - \frac{1}{2} a} \)

\(\Large \hspace{16 pt} = c_0 \frac{V_0 - a}{V_0 - \frac{1}{2} a} \frac{V_0 - \frac{3}{2} a}{V_0 - \frac{2}{2} a} \frac{V_0 - \frac{4}{2} a}{V_0 - \frac{3}{2} a} \)

\(\Large c_4 = c_3 \frac{(V_0 - \frac{3}{2} a) - a}{(V_0 - \frac{3}{2} a) - \frac{1}{2} a} \)

\(\Large \hspace{16 pt} = c_0 \frac{V_0 - a}{V_0 - \frac{1}{2} a} \frac{V_0 - \frac{3}{2} a}{V_0 - \frac{2}{2} a} \frac{V_0 - \frac{4}{2} a}{V_0 - \frac{3}{2} a} \frac{V_0 - \frac{5}{2} a}{V_0 - \frac{4}{2} a} \)

と一定の法則に基づいていることがわかります．

n回目は，

\(\Large c_n = \displaystyle \prod_{ i =1 }^n \frac{V_0 - \frac{n+1}{2} a}{V_0 - \frac{n}{2} a} \)

この記号は，総乗，もしくは総積と言う物らしく，各項の積を取る物です．

\(\Large \hspace{16 pt} = c_0 \frac{V_0 - a}{V_0 - \frac{1}{2} a} \frac{V_0 - \frac{3}{2} a}{V_0 - \frac{2}{2} a} \frac{V_0 - \frac{4}{2} a}{V_0 - \frac{3}{2} a} \frac{V_0 - \frac{5}{2} a}{V_0 - \frac{4}{2} a} \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{V_0 - \frac{n+1}{2} a}{V_0 - \frac{n}{2} a} \)

よく見ると，分母ととなりの分子とで消せる，ことがわかりますね．従って，

\(\Large \hspace{16 pt} = c_0 \frac{V_0 - \frac{n+1}{2} a}{V_0 - \frac{1}{2} a} \)

と大幅に単純化することができます．

後は，

\(\Large \hspace{16 pt} = c_0 \frac{V_0 - \frac{1}{2} a - \frac{n}{2} a}{V_0 - \frac{1}{2} a} \)

\(\Large \hspace{16 pt} = c_0 \left[ 1 - \frac{\frac{1}{2} a}{V_0 - \frac{1}{2} a} n \right] \)

となって直線的に減少していきます．

さらに，最終濃度は０となります．

また，加える溶液の濃度を０でなく，C_Lとしますと，最終濃度はC_Lとなります（計算結果のみですが）

いままで，最終濃度は(C_H+C_L)/2だと勘違いしていて，授業でもそう教えていました．．．．すいません．．

気になる点．．．．

\(\Large c_n = 0 \)

となる，nはいくらになるかというと，

\(\Large 1 = \frac{\frac{1}{2} a}{V_0 - \frac{1}{2} a} n \)

\(\Large \frac{1}{2} a n= V_0 - \frac{1}{2} a \)

\(\Large \frac{1}{2} a ( n + 1 ) = V_0 \)

\(\Large n + 1 = 2 \frac{V_0}{a} \)

となって，n+1回目に０となります．体積が０となるのはｎ回目なので．．．．1回分ずれるような．．．．

もう一つは，

\(\Large C_L \neq 0 \)

の場合．．．計算できるかと思いますが．．．．今後の課題とします．結構大変な計算量で．．．
どなたか．．わかる方は教えてください！

学部3回生の，濱元君，林君が解いてくれました．
次ページからその解説をします（掲載は本人の許可済み）．