グラジエントゲルの濃度変化-濱元君の解法-03
次は，学部3年生の林燦碩君がグラジエントゲルの濃度変化についての微分方程式を解いてくれました．
その方法とは，流出量に関して，4つの式を立てています．
C(t)： 時刻tにおける濃度
CH： 濃い溶液の濃度
CL： 薄い溶液の濃度
V(t)： 混合体積
VH（ｔ）： 濃い溶液の体積
α： 混合溶液中の濃い溶液の比率
v： 単位時間あたりの流出量
として，
\(\Large C(t) = \alpha C_H + (1 - \alpha ) C_L \hspace{ 10pt } - (1)\)
\(\Large \alpha = \frac{V_H （ｔ）}{V(t)} \hspace{ 10pt } -(2) \)
\(\Large \frac{d}{dt} V(t) = - \frac{1}{2} v \hspace{ 10pt } - (3) \)
\(\Large \frac{d}{dt} V_H （ｔ）= - \alpha v \hspace{ 10pt } - (4) \)
という4つの式を得ることができます．
(4)式に(2)式を代入すると，
\(\Large \frac{d}{dt} V_H （ｔ）= - \frac{V_H （ｔ） v}{V(t)} \hspace{ 10pt } - (5) \)
(5)式を変数分離すると，
\(\Large \frac{1}{V_H （ｔ） } d V_H （ｔ） = - \frac{v}{V(t)} dt \hspace{ 10pt } - (6) \)
(3)式より
\(\Large V(t) = - \frac{1}{2} v t + A \hspace{ 10pt } - (7) \)
ここで，Aは積分定数となります．
(6)式より，
\(\Large ln V_H （ｔ） = - v ( - \frac{2}{v} ln (A - \frac{1}{2} v t)) + B \hspace{ 10pt } - (8) \)
となる．従って，
\(\Large ln V_H (t) =2 ln (A - \frac{1}{2} v t) + ln \ e^B \)
\(\Large V_H （ｔ） = e^{B} (A - \frac{1}{2} v t)^2 \hspace{ 10pt } - (9) \)
となります．
(7)式より，t=0では，
\(\Large V(0) = V_{0} \)
とすると，
\(\Large A = V_{0} \)
(9)式より，t=0，では，
\(\Large V_{H0} = e^{B} A^2 \)
\(\Large e^{B} = \frac{1}{V_{0}} \)
なので，
\(\Large \alpha = \frac{V_H}{V} = \frac{ \frac{1}{V_{0}} ( V_{0} - \frac{1}{2} v t)^2}{V_{0} - \frac{1}{2} v t} \)
\(\Large \hspace{ 16pt } = \frac{1}{V_{0}} ( V_{0} - \frac{1}{2} v t) \)
\(\Large \hspace{ 16pt } = 1 - \frac{1}{2} \frac{v}{V_{0)}} t \)
となるので，
\(\Large C(t) = \alpha C_H + (1 - \alpha ) C_L \)
\(\Large \hspace{ 16pt } = \alpha (C_H - C_L) + C_L \)
\(\Large \hspace{ 16pt } = ( 1 - \frac{1}{2} \frac{v}{V_{0}} t ) (C_H - C_L) + C_L \)
\(\Large \hspace{ 16pt } = -\frac{1}{2} \frac{v}{V_{0}} (C_H - C_L) t + C_H \)
となり，濱元樹君の結果と同じになります．
最終濃度を計算しましょう．
最終濃度になる時間は，(7)式より，
\(\Large V(t) = - \frac{1}{2} v t + V_{0} \)
において，V(t)=0，となる時間なので，
\(\Large t = \frac{2 V_0}{v} \)
となります．
従って，
\(\Large C_{final} = -\frac{1}{2} \frac{v}{V_{0}} (C_H - C_L) \frac{2 V_0}{v} + C_H \)
\(\Large \hspace{ 40pt } = - (C_H - C_L) + C_H \)
\(\Large \hspace{ 40pt } = C_L \)
となります．