RLC回路におけるステップ応答-03
RC回路からの内部抵抗測定
つぎに，RC回路について考えていきましょう．
対象となる回路は，以下に示すものです．
となります．
RC回路
RC回路は，Lがないので，
\( \Large \ RI + \frac{1}{C} \int I \ dt = V_0 \)
で表すことができます
ここに記載したように，電流・電圧（コンデンサ）と電荷qとの間には以下の関係があります．
\( \Large I = \frac{dq}{dt} \)
\( \Large q = C \ V \)
したがって，上の式を電荷で書き直すと，
\( \Large \ Rq' + \frac{1}{C} q = V_0 \)
と，一階の微分方程式となります．この微分方程式を解きます．
定数変化法を使うので，まずは定数が0で計算します．
\( \Large \ Rq' + \frac{1}{C} q = 0 \)
\( \Large \ q' = -\frac{1}{RC} q \)
\( \Large \ q = A e^{-\frac{1}{RC} t} \)
ここで定数Aを時間の関数として，
\( \Large \ q = A(t) \ e^{-\frac{1}{RC} t} \)
再度ｑを微分すると，
\( \Large \ q' = A'(t) \ e^{-\frac{1}{RC} t} - \frac{1}{RC}A(t) \ e^{-\frac{1}{RC} t} \)
元の式に代入すると，
\( \Large \ R A'(t) \ e^{-\frac{1}{RC} t} - R \frac{1}{RC}A(t) \ e^{-\frac{1}{RC} t} + \frac{1}{C} A(t) \ e^{-\frac{1}{RC} t} = V_0 \)
左辺，第二項と第三項は打ち消し合うので，
\( \Large \ R A'(t) \ e^{-\frac{1}{RC} t} = V_0 \)
\( \Large \ A'(t) = \frac{V_0}{R} e^{\frac{1}{RC} t} \)
\( \Large \ A(t) = RC \frac{V_0}{R} e^{\frac{1}{RC} t} + B =V_0 \ C e^{\frac{1}{RC} t} + B \)
ｑの式に代入すると，
\( \Large \ q = \left( V_0 \ C e^{\frac{1}{RC} t} + B \right) \ e^{-\frac{1}{RC} t} = V_0 \ C + B \ e^{-\frac{1}{RC} t} \)
初期条件として，t=0，でq=0，とすると，
\( \Large \ 0 = V_0 \ C + B \)
\( \Large \ B = - V_0 \ C \)
\( \Large \ q = V_0 \ C \left( 1 - \ e^{-\frac{1}{RC} t} \right) \)
電圧の求め方-01
電圧は，
\( \Large V_C = \frac{1}{C} q \)
から，
\( \Large \ V_C = V_0 \ \left( 1 - \ e^{-\frac{1}{RC} t} \right) \)
となります．
時定数をτ，とすれば，
\( \Large \ V_C = V_0 \ \left( 1 - \ e^{-\frac{t}{\tau}} \right) \)
\( \Large \ \tau = RC \)
となります．
電圧の求め方-02
別の方法として，
\( \Large I = \frac{dq}{dt} \)
\( \Large \ q = V_0 \ C \left( 1 - \ e^{-\frac{1}{RC} t} \right) \)
から，
\( \Large I =V_0 \ C \left( \frac{1}{RC} \ e^{-\frac{1}{RC} t} \right) = \frac{V_0}{R} \ e^{-\frac{1}{RC} t} \)
RC回路において，
\( \Large \ RI + \frac{1}{C} \int I \ dt = V_R + V_C = V_0 \)
となるので，
\( \Large \begin{eqnarray} V_C
&=& \frac{1}{C} \int I \ dt \\
&=& \frac{1}{C} \int \frac{V_0}{R} \ e^{-\frac{1}{RC} t} \ dt \\
&=& \frac{V_0}{RC} \int \ e^{-\frac{1}{RC} t} \ dt \\
&=& -V_0 e^{-\frac{1}{RC} t} + const \\
\end{eqnarray} \)
t=0でVC=0，なので，
\( \Large V_0 = const \)
\( \Large \begin{eqnarray} V_C &=& V_0 (1-e^{-\frac{1}{RC} t}) \\
&=& V_0 \ \left( 1 - \ e^{-\frac{t}{\tau}} \right) \\
\end{eqnarray} \)
\( \Large \ \tau = RC \)
と同じ結果となります．
内部抵抗
内部抵抗があるので（波形発生器，コンデンサに），
\( \Large \ \tau = ( R + R_{sys} ) C \)
となります．
\( \Large \ R + R_{sys} = \frac{ \tau}{C} \)
\( \Large \ R = \frac{ \tau}{C} - R_{sys}\)
とRとτとの関係を求めれば，
傾き：1/C
切片：-Rsys
となります．
次に実験結果となります．
