減衰振動_ステップ応答-05
RLC回路からのステップ応答
次に， RLC回路との具体的な関係をみていきましょう．
今回計算したのは，
\( \Large a \ x'' + b \ x' + c_0 \ x = f \)
でした．
ここで，
\( \Large \alpha \equiv \frac{b}{2a} \)
\( \Large \omega \equiv \frac{ \sqrt{4ac_0- b^2}}{2a} \)
と定義しました（コンデンサと紛らわしいので，c0, としました）．
RLC回路は，
\( \Large \ RI + L \frac{dI}{dt} + \frac{1}{C} \int I \ dt = V_0 \)
です．ここでは，微分して二階の微分方程式にしましたが，ステップ応答の場合は，右辺が０となっては都合が悪いですね．
ここで，電荷，を定義しましょう．
電流・電圧（コンデンサ）と電荷qとの間には以下の関係があります．
\( \Large I = \frac{dq}{dt} \)
\( \Large q = C \ V \)
したがって，上の式を電荷で書き直すと，
\( \Large \ Rq' + L q'' + \frac{1}{C} q = V_0 \)
と，二階の微分方程式となります．ここで，一般的な二階の微分方程式と比較して，
\( \Large a \ x'' + b \ x' + c_0 \ x = f \)
となります．次に初期値を考えていきましょう．
初期値-01
\( \Large t=0, x=x'=0 \)
の場合，ここにあるように，
\( \Large x= \frac{f}{c_0} \left[ 1 - \sqrt{ 1 + \frac{\alpha^2}{\omega^2}} \ e^{- \alpha t} \ sin ( \omega t + \phi ) \right] \)
と，電荷の時間変化の式となります．
初期値-02
\( \Large t=0, \color {red}{x=-\frac{f}{c}}, \ x'=0 \)
の場合には，ここにあるように，
\( \Large x = \frac{f}{c} \left[ 1 - \color {red}{2} \sqrt{ 1 + \frac{\alpha}{\omega}^2} \ e^{- \alpha t} \ sin ( \omega t + \phi ) \right] \)
となり，係数が２となるだけですね．
以下の計算は，
\( \Large t=0, x=x'=0 \)
の場合（係数が１の場合）の計算を示します．
電荷から，電流，電圧を考えていきましょう．
電流
電流は電荷の時間微分となりますので，
\( \Large \begin{eqnarray} I
&=& \frac{dq}{dt} \\
&=&
\frac{V_0}{c_0} \sqrt{ 1 + \frac{\alpha^2}{\omega^2}} \left[ \alpha \ e^{- \alpha t} \ sin ( \omega t + \phi ) - \omega\ e^{- \alpha t} \ cos ( \omega t + \phi )\right] \\
&=&
\frac{V_0}{c_0} \sqrt{ 1 + \frac{\alpha^2}{\omega^2}} e^{- \alpha t} \left[ \alpha \ sin ( \omega t + \phi ) - \omega \ cos ( \omega t + \phi )\right] \\
\end{eqnarray} \)
となります．ここで，
\( \Large sin \phi = \frac{\omega}{ \sqrt{ \alpha^2 + \omega^2}} \)
\( \Large cos \phi = \frac{\alpha}{ \sqrt{ \alpha^2 + \omega^2}} \)
ですので，
\( \Large I = \frac{V_0}{c_0} \sqrt{ 1 + \frac{\alpha^2}{\omega^2}} e^{- \alpha t} \sqrt{\alpha^2 + \omega^2} \left[ cos \phi \ sin ( \omega t + \phi ) - \sin \phi \ cos ( \omega t + \phi )\right] \)
となります．ここで三角関数の公式から，
\( \Large sin ( A-B) = sin \ A cos \ B - cos \ A sin \ B \)
\( \Large \sqrt{ 1 + \frac{\alpha^2}{\omega^2}} \sqrt{\alpha^2 + \omega^2} = \sqrt{ \frac{\alpha^2+\omega^2}{\omega^2}} \sqrt{\alpha^2 + \omega^2} = \frac{\alpha^2+\omega^2}{\omega} \)
から，
\( \Large \begin{eqnarray} I
&=&
\frac{V_0}{c_0} \frac{\alpha^2 + \omega^2}{\omega} e^{- \alpha t} sin \ \omega t \\
&=& V_0 C \frac{\alpha^2 + \omega^2}{\omega} e^{- \alpha t} sin \ \omega t \\
\end{eqnarray} \)
と位相情報もなくなり，かんたんになります．また，
\( \Large \alpha = \frac{b}{2a} = \frac{ R }{2 L} \)
\( \Large \omega = \sqrt{ \frac{1}{LC} - \left( \frac{R}{2L} \right)^2 }\)
から，
\( \Large \alpha^2+\omega^2 = \left( \frac{ R }{2 L} \right)^2 + \frac{1}{LC} - \left( \frac{R}{2L} \right)^2 = \frac{1}{LC} \)
となり，
\( \Large I = V_0 \frac{1}{L \omega} e^{- \alpha t} sin \ \omega t \)
と書くことができます．
電圧
電圧は，
\( \Large V = \frac{1}{C} q \)
から，
\( \Large \begin{eqnarray} q
&=& \frac{V_0}{c_0} \left[ 1 - \sqrt{ 1 + \frac{\alpha^2}{\omega^2}} \ e^{- \alpha t} \ sin ( \omega t + \phi ) \right] \\
&=& V_0 C \left[ 1 - \sqrt{ 1 + \frac{\alpha^2}{\omega^2}} \ e^{- \alpha t} \ sin ( \omega t + \phi ) \right] \\
\end{eqnarray} \)
から，
\( \Large \begin{eqnarray} V
&=& V_0 \left[ 1- \sqrt{ 1 + \frac{\alpha^2}{\omega^2}} \ e^{- \alpha t} sin ( \omega t + \phi) \right] \\
&=& V_0 \left[ 1- \frac{1}{\sqrt{ L \ C} \omega} \ e^{- \alpha t} sin ( \omega t + \phi) \right] \\
\end{eqnarray} \)
となります．
ここで，
\( \Large \alpha = \frac{b}{2a} = \frac{ R }{2 L} \)
\( \Large \omega = \frac{ \sqrt{4ac_0- b^2}}{2a} = \frac{ \sqrt {\frac{4}{LC}-\left( \frac{R}{L} \right)^2}}{2} = \sqrt{\frac{ \frac{4}{LC}-\left( \frac{R}{L} \right)^2}{4}} = \sqrt{ \frac{1}{LC} - \left( \frac{R}{2L} \right)^2 }\)
となります．
