分散とその性質

・分散

式で表すと，

\( \Large \begin{eqnarray} V[X] &=& \displaystyle \sum_{i=1}^n p_i \cdot x_i \\
&=& E \left[ (X - \mu_X)^2 \right] \\
&=& \displaystyle \sum_{i=1}^n p_i \cdot (x_i - \mu_x )^2 \\
\end{eqnarray} \)

ここで，μ，は平均値を表します．
我々は一般的にはμは接頭語でマイクロ，を示しますが，統計では，meanのｍのギリシャ表記で使われるようです（紛らわしいですが．．）

分散に関する公式は（ここ，を参考にしました），

・係数

\( \Large \begin{eqnarray} V[a \cdot X] &=& \displaystyle \sum_{i=1}^n p_i \cdot (a \cdot x_i - E[aX] )^2 \\
&=& \displaystyle \sum_{i=1}^n p_i \cdot (a \cdot x_i - a \cdot \mu_x )^2 \\
&=& a^2 \cdot \displaystyle \sum_{i=1}^n p_i \cdot ( x_i - \mu_x )^2 \\
&=& a^2 \cdot V[X] \\
\end{eqnarray} \)

・定数

\( \Large \begin{eqnarray} V[ X + a ] &=& \displaystyle \sum_{i=1}^n p_i ( x_i + a - E[X+a])^2 \\
&=& \displaystyle \sum_{i=1}^n p_i ( x_i + a - ( \mu_x+a))^2 \\
&=& \displaystyle \sum_{i=1}^n p_i ( x_i - \mu_x)^2 \\
&=& V[X] \\
\end{eqnarray} \)

分散は，シフトしただけでは変化しない，ということですね

・和　（ちょっとややこしい）

\( \Large \begin{eqnarray} V[ X + Y ] &=& \displaystyle \sum_{i=1}^n p_i ( x_i + y_i-E[X+Y])^2 \\
&=& \displaystyle \sum_{i=1}^n p_i \left\{ x_i + y_i - (E[X]+E[Y]) \right\}^2 \\
&=& \displaystyle \sum_{i=1}^n p_i \{ (x_i - \mu_x) +( y_i - \mu_y) \}^2 \\
&=& \displaystyle \sum_{i=1}^n p_i \{ (x_i - \mu_x)^2 +2(x_i - \mu_x) \cdot ( y_i - \mu_y) + ( y_i - \mu_y) \}^2 \\
&=& \displaystyle \sum_{i=1}^n p_i (x_i - \mu_x)^2 +2\displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i - \mu_x) \cdot ( y_i - \mu_y) + \displaystyle \sum_{i=1}^n( y_i - \mu_y) \}^2 \\
&=& V[X] + V[Y] + Cov[X,Y] \\
\end{eqnarray} \)

となります．ここで，Cov，とは共分散で，

\( \Large Cov[X,Y] = E[ (x_i - \mu_x) \cdot ( y_i - \mu_y)]\)

です，X,Yが独立の場合，共分散は0となりますので（導出は，ここ）

\( \Large V[X+Y] = V[X] + V[Y] \)

となります．

これはある意味，誤差伝搬の法則の和と同じですね．