加減乗除などの誤差の見積もり

では,実際に計算した結果をお示ししましょう.

・ n×(M1±ε1 (実際の導出方法は,ここ)

\( \Large n \cdot ( M_1 \pm\varepsilon_1) = n \cdot M_1 \pm n \cdot \varepsilon_1 \)

 

・ n/(M1±ε1 (実際の導出方法は,ここ)

\( \Large \frac{n}{ M_1 \pm \varepsilon_1} = \frac{n}{M_1} \pm \frac{n}{M_1^2} \cdot \varepsilon_1 \)

 

・ (M1±ε1±(M2±ε2 (実際の導出方法は,ここ)

\( \Large ( M_1 \pm\varepsilon_1) \pm ( M_2 \pm\varepsilon_2)= ( M_1 \pm M_2) \pm \sqrt{ \varepsilon_1^2 +\varepsilon_2^2 } \)

 

・ (M1±ε1)×(M2±ε2(実際の導出方法は,ここ)

\( \Large ( M_1 \pm\varepsilon_1) \times ( M_2 \pm\varepsilon_2)= ( M_1 \times M_2) \pm \sqrt{ (M_2 \cdot \varepsilon_1)^2 + ( M_1 \cdot \varepsilon_2)^2 } \)

 

・ (M1±ε1)/(M2±ε2(実際の導出方法は,ここ)

 

\( \Large \frac{M_1 \pm \varepsilon_1}{ M_2 \pm \varepsilon_2} = \frac{M_1}{M_2} \pm \sqrt{\left( \frac{1}{M_2} \cdot \varepsilon_1 \right)^2 + \left( \frac{M_1}{M_2^2} \cdot \varepsilon_2 \right)^2 }\)

 

・ (M1±ε1(M2±ε2)(実際の導出方法は,ここ)

 

\( \Large (M_1 \pm \varepsilon_1)^{ M_2 \pm \varepsilon_2} = M_1^{M_2} \pm \sqrt{M_2 \cdot M_1^{M_2-1} \cdot \varepsilon_1 )^2 + ( log M_1 \cdot M_1^{M_2} \cdot \varepsilon_2 )^2 } \)

 

・ {(M1±ε1)+(M2±ε2)}/(M3±ε3)(実際の導出方法は,ここ)

 

\( \Large \frac{(M_1 \pm \varepsilon_1)+(M_2 \pm \varepsilon_2)}{ M_3 \pm \varepsilon_3} = \frac{M_1+M_2}{M_3} \pm \sqrt{\left( \frac{1}{M_3} \cdot \varepsilon_1 \right)^2 +\left( \frac{1}{M_3} \cdot \varepsilon_2 \right)^2+ \left( \frac{M_1+M_2}{M_3^2} \cdot \varepsilon_3 \right)^2 }\)

 

・ {(M1±ε1)×(M2±ε2)}/(M3±ε3)(実際の導出方法は,ここ)

 

\( \Large \frac{(M_1 \pm \varepsilon_1) \times (M_2 \pm \varepsilon_2)}{ M_3 \pm \varepsilon_3} = \frac{M_1\times M_2}{M_3} \pm \sqrt{\left( \frac{M_2}{M_3} \cdot \varepsilon_1 \right)^2 +\left( \frac{M_1}{M_3} \cdot \varepsilon_2 \right)^2+ \left( \frac{M_1 \cdot M_2}{M_3^2} \cdot \varepsilon_3 \right)^2 }\)

 

・ (M1±ε1)/{(M2±ε2)+(M3±ε3)}(実際の導出方法は,ここ)

\( \Large \frac{ M_1 \pm \varepsilon_1}{(M_2 \pm \varepsilon_2)+(M_3 \pm \varepsilon_3)} = \frac{M_1}{M_2 + M_3} \pm \sqrt{\left( \frac{1}{M_2 + M_3} \cdot \varepsilon_1 \right)^2 +\left( \frac{M_1}{(M_2 + M_3)^2} \cdot \varepsilon_2 \right)^2+ \left( \frac{M_1}{(M_2+M_3)^2} \cdot \varepsilon_3 \right)^2 }\)

 

・ (M1±ε1)/{(M2±ε2(M3±ε3)}(実際の導出方法は,ここ)

\( \Large \frac{ M_1 \pm \varepsilon_1}{(M_2 \pm \varepsilon_2)\times (M_3 \pm \varepsilon_3)} = \frac{M_1}{M_2 \times M_3} \pm \sqrt{\left( \frac{1}{M_2 \times M_3} \cdot \varepsilon_1 \right)^2 +\left( \frac{M_1}{M_2^2 \cdot M_3} \cdot \varepsilon_2 \right)^2+ \left( \frac{M_1}{M_2 \cdot M_3^2} \cdot \varepsilon_3 \right)^2 }\)

 

・円柱

円柱の直径をD,長さをL,質量をM,とすると体積Vと密度ρは,

\( \Large V = \pi \left( \frac{D}{2} \right)^2 L \)

\( \Large \rho = \frac{M}{\pi \left( \frac{D}{2} \right)^2 L} \)

\( \Large \delta V = V \sqrt{ \left( 2 \frac{\delta_D}{D} \right)^2 + \left( \frac{\delta_L}{L} \right)^2 } \)

\( \Large \delta \rho = \rho \sqrt{ \left( 2 \frac{\delta_D}{D} \right)^2 + \left( \frac{\delta_L}{L} \right)^2 + \left( \frac{\delta_M}{M} \right)^2} \)

(実際の導出方法は,ここ)

 

・円筒

円筒の断面積は,外径をD,厚みをtとすると,

\( \Large S = \pi ( D-t )t \)

長さをL,質量をM,とすると体積Vと密度ρは,

\( \Large V = \pi ( D-t )t L \)

\( \Large \rho = \frac{M}{\pi ( D-t )t L} \)

\( \Large \delta V = V \sqrt{ \left( \frac{D}{D-1} \frac{\delta_D}{D} \right)^2 + \left( \frac{\delta_L}{L} \right)^2+ \left( \frac{D-2t}{D-t} \frac{\delta_t}{t} \right)^2 } \)

\( \Large \delta \rho = \rho \sqrt{ \left( \frac{\delta_M}{M} \right)^2 + \left( \frac{\delta_L}{L} \right)^2 + \left( \frac{D}{D-t} \frac{\delta_D}{D} \right)^2 + \left( \frac{D-2t}{D-t} \frac{\delta_t}{t} \right)^2} \)

D >> tのときは,

\( \Large \delta V \simeq V \sqrt{ \left( \frac{\delta_D}{D} \right)^2 + \left( \frac{\delta_L}{L} \right)^2+ \left(\frac{\delta_t}{t} \right)^2 } \)

\( \Large \delta \rho = \rho \sqrt{ \left( \frac{\delta_M}{M} \right)^2 + \left( \frac{\delta_L}{L} \right)^2 + \left( \frac{\delta_D}{D} \right)^2 + \left( \frac{\delta_t}{t} \right)^2} \)

(実際の導出方法は,ここ)

 

l t r