円柱の誤差伝搬

円柱の直径をD，長さをL，質量をM，とすると体積Vと密度ρは，

\( \Large V = \pi \left( \frac{D}{2} \right)^2 L \)

\( \Large \rho = \frac{M}{\pi \left( \frac{D}{2} \right)^2 L} \)

となります．

誤差伝搬は，\( \Large y = f (x_a, x_b, x_c \cdots) \)　とすると，

\( \Large \sigma_y \simeq \sqrt{ \left( \frac{ \partial f}{\partial x_a} \sigma_a \right)^2 + \left( \frac{ \partial f}{\partial x_b} \sigma_b \right)^2 + \left( \frac{ \partial f}{\partial x_c} \sigma_c \right)^2 + \cdots } \)

となるので，これをもとに計算していきます．．

・円柱の体積

\( \Large \frac{ \partial V}{\partial D} = \frac{\pi}{2} D L = \pi \left( \frac{D}{2} \right)^2 L \cdot \frac{2}{D} = V \cdot \frac{2}{D}\)

\( \Large \frac{ \partial V}{\partial L} = \pi \left( \frac{D}{2} \right)^2 = \pi \left( \frac{D}{2} \right)^2 L \cdot \frac{1}{L} = V \cdot \frac{1}{L} \)

となるので，

\( \Large \begin{eqnarray} \delta V &=& \sqrt{ \left( V \cdot \frac{2}{D} \delta_D \right)^2 + \left( V \cdot \frac{1}{L} \delta_L \right)^2 } \\
&=& V \sqrt{ \left( 2 \frac{\delta_D}{D} \right)^2 + \left( \frac{\delta_L}{L} \right)^2 } \\
\end{eqnarray} \)

となります．

・円柱の密度

\( \Large \rho = \frac{M}{\pi \left( \frac{D}{2} \right)^2 L} = \frac{4}{\pi} \frac{M}{D^2 L} \)

ですので，

\( \Large \frac{ \partial \rho}{\partial M} = \frac{4}{\pi} \frac{1}{D^2 L} = \rho \cdot \frac{1}{M}\)

\( \Large \frac{ \partial \rho}{\partial L} = \frac{4}{\pi} \frac{-M}{D^2 L^2} = \rho \cdot \frac{-1}{L}\)

\( \Large \frac{ \partial \rho}{\partial D} = \frac{4}{\pi} \frac{-2M}{D^3 L} = \rho \cdot \frac{-2}{D}\)

となるので，

\( \Large \begin{eqnarray} \delta \rho &=& \sqrt{ \left( V \cdot \frac{1}{M} \delta_M \right)^2 + \left( V \cdot \frac{-1}{L} \delta_L \right)^2 + \left( V \cdot \frac{-2}{D} \delta_D \right)^2} \\
&=& \rho \sqrt{ \left( 2 \frac{\delta_D}{D} \right)^2 + \left( \frac{\delta_L}{L} \right)^2 + \left( \frac{\delta_M}{M} \right)^2} \\
\end{eqnarray} \)

となります．