期待値とその性質

・期待値と平均との違い

私なりの理解では，大雑把には一緒ですが，ここ，を参考にすると，

　平均　　：　ここのデータをすべて足し合わせて，データの総数で割ったもの

　期待値　：　確率変数の値を，確率による重みを付して平均した値

ということです．式で表すと，

\( \Large E[X] = \displaystyle \sum_{i=1}^n p_i \cdot x_i \)

です．

期待値に関する公式は（ここ，を参考にしました），

・係数

\( \Large \begin{eqnarray} E[a \cdot X] &=& \displaystyle \sum_{i=1}^n a \cdot p_i \cdot x_i \\
&=& a \cdot \displaystyle \sum_{i=1}^n p_i \cdot x_i \\
&=& a \cdot E[X] \\
\end{eqnarray} \)

・定数

\( \Large \begin{eqnarray} E[ X + a ] &=& \displaystyle \sum_{i=1}^n p_i ( x_i + a) \\
&=& \displaystyle \sum_{i=1}^n p_i \cdot x_i + \displaystyle \sum_{i=1}^n p_i \cdot a \\
&=& \displaystyle \sum_{i=1}^n p_i \cdot x_i + a \\
&=& E[X] + a \\
\end{eqnarray} \)

・和

\( \Large \begin{eqnarray} E[ X + Y ] &=& \displaystyle \sum_{i=1}^n p_i ( x_i + y_i) \\
&=& \displaystyle \sum_{i=1}^n p_i \cdot x_i + \displaystyle \sum_{i=1}^n p_i \cdot y_i \\
&=& E[X] + E[Y] \\
\end{eqnarray} \)

・積

\( \Large \begin{eqnarray} E[ X \cdot Y ] &=& \displaystyle \sum_{i=1}^n p_i ( x_i \cdot y_i) \\
&=& \left(\displaystyle \sum_{i=1}^n p_i \cdot x_i \right) \cdot \left( \displaystyle \sum_{i=1}^n p_i \cdot y_i \right) \\
&=& E[X] \cdot E[Y] \\
\end{eqnarray} \)

となります．

次は分散．