分散値
分散値は，ここで記したように，
\(\Large \sigma^2 = <x^2>-<x>^2 \)
から，<x2>を求めれば解くことができます．
\(\Large \begin{align*} <n^2> &= \displaystyle \sum_{ n=0 }^{N} P_{N} (n) \cdot n^2 \\
&= \sum_{ n=0 }^{N} \frac{N!}{(N-n)! \ n!} p^{n} \ q^{N-n} \cdot n^2 \end{align*} \)
となります．
\(\Large n^2 \ p^n = n \left( p \ \frac{\partial }{ \partial p } \right) (p^n) = \left( p \ \frac{\partial }{ \partial p } \right)^2 \left( p^n \right) \)
より，
\(\Large \begin{align*} <n^2> &= \displaystyle \sum_{ n=0 }^{N} \frac{N!}{(N-n)! \ n!} \left( p \ \frac{\partial }{ \partial p } \right)^2 p^n \ q^{N-n} \\
&= \left( p \ \frac{\partial }{ \partial p } \right)^2 \left[ \sum_{ n=0 }^{N} \frac{N!}{(N-n)! \ n!} p^{n} \ q^{N-n} \right] \\
&=
\left( p \ \frac{\partial }{ \partial p } \right)^2 (p+q)^{N} \\
&=
\left( p \ \frac{\partial }{ \partial p } \right) \ pN\ (p+q)^{N-1} \\
&= p \left[ N (p+q)^{N-1} + pN \ (N-1) \ (p+q)^{N-2} \right] \\
&= p \left[ N+pN \ (N-1) \right] \\
&= Np \ \left[ 1+pN-p \right] \\
&= (Np)^2 + Npq \end{align*} \)
となります．
\(\Large \sigma^2 = <n^2>-<n>^2 \)
から，
\(\Large \begin{align*} \sigma^2 &= <n^2>-<n>^2 \\
&= (Np)^2 + Npq - (Np)^2 \\
&= Npq
\end{align*} \)
次ページでは，ショットノイズの場合を考えていきましょう．