平均と分散

平均と分散の定義は，かみ砕いて説明すると，
　平均：観測値の総和をその個数で割ったもの
　分散：観測地と平均値の差分の二乗の平均
と言えます．

これを数学的に記述すると，

平均

\( \Large <x> = \frac{1}{n} \displaystyle \sum_{i=1}^n x_i \)

分散

\( \Large Variance = \frac{1}{n} \displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 \)

となります．

分散の式は展開でき，

\( \Large \begin{eqnarray} Variance &=&\sqrt{\frac{1}{n} \displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i - <x>)^2} \\
&=& \sqrt{\frac{1}{n} \displaystyle \sum_{i=1}^n \left( x_i^2 - 2 x_i <x> +<x>^2 \right)} \\
&=& \sqrt{\frac{1}{n} \displaystyle \sum_{i=1}^n x_i^2 - \frac{1}{n} \cdot 2 <x> \displaystyle \sum_{i=1}^n x_i + \frac{1}{n} \displaystyle \sum_{i=1}^n <x>^2 } \\
&=& <x>^2 - 2 <x>^2 +<x>^2 \\
&=& <x>^2 - <x>^2 \\
\end{eqnarray} \)

と置くことができます．