期待値とその性質
・期待値と平均との違い
私なりの理解では,大雑把には一緒ですが,ここ,を参考にすると,
平均 : ここのデータをすべて足し合わせて,データの総数で割ったもの
期待値 : 確率変数の値を,確率による重みを付して平均した値
ということです.式で表すと,
\( \Large E[X] = \displaystyle \sum_{i=1}^n p_i \cdot x_i \)
です.
期待値に関する公式は(ここ,を参考にしました),
・係数
\( \Large \begin{eqnarray} E[a \cdot X] &=& \displaystyle \sum_{i=1}^n a \cdot p_i \cdot x_i \\
&=& a \cdot \displaystyle \sum_{i=1}^n p_i \cdot x_i \\
&=& a \cdot E[X] \\
\end{eqnarray} \)
・定数
\( \Large \begin{eqnarray} E[ X + a ] &=& \displaystyle \sum_{i=1}^n p_i ( x_i + a) \\
&=& \displaystyle \sum_{i=1}^n p_i \cdot x_i + \displaystyle \sum_{i=1}^n p_i \cdot a \\
&=& \displaystyle \sum_{i=1}^n p_i \cdot x_i + a \\
&=& E[X] + a \\
\end{eqnarray} \)
・和
\( \Large \begin{eqnarray} E[ X + Y ] &=& \displaystyle \sum_{i=1}^n p_i ( x_i + y_i) \\
&=& \displaystyle \sum_{i=1}^n p_i \cdot x_i + \displaystyle \sum_{i=1}^n p_i \cdot y_i \\
&=& E[X] + E[Y] \\
\end{eqnarray} \)
・積
\( \Large \begin{eqnarray} E[ X \cdot Y ] &=& \displaystyle \sum_{i=1}^n p_i ( x_i \cdot y_i) \\
&=& \left(\displaystyle \sum_{i=1}^n p_i \cdot x_i \right) \cdot \left( \displaystyle \sum_{i=1}^n p_i \cdot y_i \right) \\
&=& E[X] \cdot E[Y] \\
\end{eqnarray} \)
となります.
次は分散.