直線近似の各推定値の誤差-01

 

微分方程式について,まとめてみました.

直線近似の推定については,ここ,にまとめてあります.

では,各パラメータ,a, bはどの程度の誤差を持つものでしょうか?

\( \Large y = ax+b \)

で考えていきましょう.

ここでは,誤差伝搬法則,を使います.

また,こちら,を参考にさせていただきました,ありがとうございます.

 

・最小自乗

直線近似の場合の最小自乗は,ここ,にあるように,

\( \Large a = \frac{N \displaystyle \sum_{i=1}^N x_i y_i - \displaystyle \sum_{i=1}^N x_i \displaystyle \sum_{i=1}^N y_i }{\Delta} \)

\( \Large b = \frac{ \displaystyle \sum_{i=1}^N x_i^2 \displaystyle \sum_{i=1}^N y_i - \displaystyle \sum_{i=1}^N x_i y_i \displaystyle \sum_{i=1}^N x_i}{\Delta} \)

\( \Large \Delta = N \displaystyle \sum_{i=1}^N x_i^2 - \left( \displaystyle \sum_{i=1}^N x_i \right)^2 \)

となります.

 

・誤差伝搬法則

誤差伝搬法則は,ここ,にあるように,

\( \Large \sigma_y = \sqrt{ \left( \frac{ \partial f}{ \partial x_1} \sigma_1 \right)^2 + \left( \frac{ \partial f}{ \partial x_2} \sigma_2 \right)^2 +\cdots + \left( \frac{ \partial f}{ \partial x_n} \sigma_n \right)^2}\)

となります.

したがって,推定値,a,bの誤差はx,yそれぞれの誤差の伝搬と言えるわけです.

 

・aの推定誤差

aの誤差伝搬は,

\( \Large \sigma_a = \sqrt{ \displaystyle \sum_{i=1}^N \left( \frac{ \partial a}{ \partial x_i} \sigma_x \right)^2 + \displaystyle \sum_{i=1}^N\left( \frac{ \partial a}{ \partial y_i} \sigma_y \right)^2}\)

となります,これを解けばいいのですが,どう考えても計算は複雑になります.

しかし,ここで大きな仮定,”xには誤差はなく,yのみに誤差がある”,とします.これはそれほど無理のあることではなく,実際の実験ではよくあるパターンです.

例えば,”一定時刻ごとの測定値”のように,”一定時刻”より,”測定値”のほうが明らかに測定誤差を含む場合ですね.

となると,誤差伝搬の第一項はxの誤差なので,0となります!,さらには分母の⊿も微分とは関係なくなり

\( \Large \begin{eqnarray} \sigma_a &=& \sqrt{ \displaystyle \sum_{i=1}^N \left( \frac{ \partial a}{ \partial y_i} \sigma_y \right)^2} \\
&=& \frac{ \sigma_y}{ \Delta} \sqrt{ \displaystyle \sum_{i=1}^N \left[ \frac{ \partial }{ \partial y_i} \left(N \displaystyle \sum_{i=1}^N x_i y_i - \displaystyle \sum_{i=1}^N x_i \displaystyle \sum_{i=1}^N y_i \right) \right]^2 } \\
\end{eqnarray} \)

となります.

ルートの中のyの偏微分は,

\( \Large \begin{eqnarray} \displaystyle \sum_{i=1}^N \left[ \frac{ \partial }{ \partial y_i} \left(N \displaystyle \sum_{i=1}^N x_i y_i - \displaystyle \sum_{i=1}^N x_i \displaystyle \sum_{i=1}^N y_i \right) \right]^2 &=& \displaystyle \sum_{i=1}^N \left[ \frac{ \partial }{ \partial y_i} \left\{ N ( x_1 y_1 +x_2 y_2 + \cdots ) - (x_1 + x_2 + \cdots )(y_1 + y_2 + \cdots) \right\} \right]^2 \\
&=& \displaystyle \sum_{i=1}^N \left[ N x_i - \left( \displaystyle \sum x \right) \right]^2 \\
&=& \displaystyle N^2 \sum_{i=1}^N x_i^2 - 2N ( \displaystyle \sum x )^2 +N ( \displaystyle \sum x )^2 \\
&=& \displaystyle N \left( N \sum_{i=1}^N x_i^2 - ( \displaystyle \sum x )^2 \right) \\
&=& N \Delta \\
\end{eqnarray} \)

\( \Large \begin{eqnarray} \sigma_a &=& \frac{ \sigma_y}{ \Delta} \sqrt{ N \Delta} \\
&=& \sigma_y \sqrt{ \frac{ N}{ \Delta}} \\
\end{eqnarray} \)

となります.

 

・bの推定誤差

bの誤差伝搬は,

\( \Large \sigma_b = \sqrt{ \displaystyle \sum_{i=1}^N \left( \frac{ \partial b}{ \partial x_i} \sigma_x \right)^2 + \displaystyle \sum_{i=1}^N\left( \frac{ \partial b}{ \partial y_i} \sigma_y \right)^2}\)

となります,同様にyのみに誤差があるとして,

\( \Large \begin{eqnarray} \sigma_b &=& \sqrt{ \displaystyle \sum_{i=1}^N \left( \frac{ \partial b}{ \partial y_i} \sigma_y \right)^2} \\
&=& \frac{ \sigma_y}{ \Delta} \sqrt{ \displaystyle \sum_{i=1}^N \left[ \frac{ \partial }{ \partial y_i} \left( \displaystyle \sum_{i=1}^N x_i^2 \displaystyle \sum_{i=1}^N y_i - \displaystyle \sum_{i=1}^N x_i y_i \displaystyle \sum_{i=1}^N x_i \right) \right]^2 } \\
\end{eqnarray} \)

ルートの中のyの偏微分は,

\( \Large \begin{eqnarray} \displaystyle \sum_{i=1}^N \left[ \frac{ \partial }{ \partial y_i} \left( \displaystyle \sum_{i=1}^N x_i^2 \displaystyle \sum_{i=1}^N y_i - \displaystyle \sum_{i=1}^N x_i y_i \displaystyle \sum_{i=1}^N x_i \right) \right]^2
&=& \displaystyle \sum_{i=1}^N \left[ \frac{ \partial }{ \partial y_i} \left\{ ( x_1^2 +x_2^2 + \cdots ) (y_1 + y_2 + \cdots) - (x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots)(x_1 + x_2 + \cdots ) \right\} \right]^2 \\
&=& \displaystyle \sum_{i=1}^N \left[ \left( \displaystyle \sum x^2 \right) - x_i \left( \displaystyle \sum x \right) \right]^2 \\
&=& \displaystyle \sum_{i=1}^N \left[ (\displaystyle \sum x^2)^2 -2 x_i (\displaystyle \sum x) (\displaystyle \sum x^2) + x_i^2 (\displaystyle \sum x) ^2 \right] \\
&=& N(\displaystyle \sum x^2)^2 - 2 (\displaystyle \sum x)^2 (\displaystyle \sum x^2) + (\displaystyle \sum x^2) (\displaystyle \sum x) ^2 \\
&=& N(\displaystyle \sum x^2)^2 - (\displaystyle \sum x^2) (\displaystyle \sum x) ^2 \\
&=& (\displaystyle \sum x^2) \left[ N(\displaystyle \sum x^2) - (\displaystyle \sum x) ^2 \right] \\
&=& (\displaystyle \sum x^2) \Delta \\
\end{eqnarray} \)

\( \Large \begin{eqnarray} \sigma_b &=& \frac{ \sigma_y}{ \Delta} \sqrt{ (\displaystyle \sum x^2) \Delta} \\
&=& \sigma_y \sqrt{ \frac{ \displaystyle \sum x^2}{ \Delta}} \\
\end{eqnarray} \)

となります.

 

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