ガンマ分布と逐次反応-03

・4ステップ

\( \Large A \xrightarrow{\lambda} B \xrightarrow{\lambda} C \xrightarrow{\lambda} D \xrightarrow{\lambda} E \)

という状態を考えます．

それぞれのステップの時間が，t₁, t₂である時間は，

\( \Large A \xrightarrow{\lambda} B : \lambda e^{- \lambda t_1} \)

\( \Large B \xrightarrow{\lambda} C : \lambda e^{- \lambda t_2} \)

\( \Large C \xrightarrow{\lambda} D : \lambda e^{- \lambda t_3} \)

\( \Large D \xrightarrow{\lambda} E : \lambda e^{- \lambda t_4} \)

つまり，t=t₁+t₂+t₃+t₄であるためには，

\( \Large t_4 = t - t_1 -t_2 - t_3 \)

の関係があるので，それぞれの確率の積を，t₃を，0～t₂に渡って，t₂を，0～t-t₁に渡って，t₁を，0～t-t₁-t₂に渡って，積分すればいいのです．

\( \Large  \begin{eqnarray} && \displaystyle \int_{0}^{ t} \displaystyle \int_{0}^{ \color{red}{t-t_1}} \displaystyle \int_{0}^{\color{red}{t-t_1- t_2}} \lambda e^{- \lambda t_1} \cdot \lambda e^{- \lambda t_2} \cdot \lambda e^{- \lambda t_3} \cdot \lambda e^{- \lambda (t-t_1-t_2-t_3)} dt_3 dt_2 dt_1 \\
&=& \lambda^4 e^{- \lambda t} \cdot\displaystyle \int_{0}^{ t} \displaystyle \int_{0}^{\color{red}{t-t_1}} \displaystyle \int_{0}^{ \color{red}{t-t_1- t_2}} e^{- \lambda t_1} \cdot e^{- \lambda t_2} \cdot e^{- \lambda t_3} \cdot e^{- \lambda t} \cdot e^{ \lambda t_1} \cdot e^{ \lambda t_2} \cdot e^{ \lambda t_3} dt_3 dt_2 dt_1 \\
&=& \lambda^4\cdot e^{- \lambda t} \cdot\displaystyle \int_{0}^{ t} \displaystyle \int_{0}^{ \color{red}{t-t_1}} \displaystyle \int_{0}^{ \color{red}{t-t_1- t_2}} \ dt_3 dt_2 dt_1 \\
&=& \lambda^4 \cdot e^{- \lambda t} \cdot\displaystyle \int_{0}^{ t} \displaystyle \int_{0}^{ \color{red}{t-t_1}} \color{red}{ \left( t-t_1-t_2 \right) }\ dt_2 dt_1 \\
&=& \lambda^4 \cdot e^{- \lambda t} \cdot\displaystyle \int_{0}^{ t} \color{ red}{\left[ t \cdot t_2 - t_1 \cdot t_2 -\frac{1}{2} t_2^2 \right]^{t-t_1}_0} \ dt_1 \\
&=& \lambda^4 \cdot e^{- \lambda t} \cdot\displaystyle \int_{0}^{ t} \color{ red}{\left[ t \cdot (t-t_1) - t_1 \cdot (t-t_1) -\frac{1}{2} (t-t_1)^2 \right]} \ dt_1 \\
&=& \lambda^4 \cdot e^{- \lambda t} \cdot\displaystyle \int_{0}^{ t} \color{ red}{\left[ t^2-t \cdot t_1 - t \cdot t_1 +t_1^2 -\frac{1}{2} t^2 +t \cdot t_1-\frac{1}{2} t_1^2 \right]} \ dt_1 \\
&=& \lambda^4 \cdot e^{- \lambda t} \cdot\displaystyle \int_{0}^{ t} \color{ red}{\left[ \frac{1}{2} t^2 +t \cdot t_1-\frac{1}{2} t_1^2 \right]} \ dt_1 \\
&=& \lambda^4 \cdot e^{- \lambda t} \color{ red}{\left[ \frac{1}{2} t^2 \cdot t_1-\frac{1}{2} t \cdot t_1^2-\frac{1}{6} t_1^3 \right]_0^t} \ dt_1 \\
&=& \lambda^4 \cdot e^{- \lambda t} \color{ red}{\left( \frac{1}{2} t^3 -\frac{1}{2} t^3-\frac{1}{6} t^3 \right)} \ dt_1 \\
&=& \lambda^4 \cdot e^{- \lambda t} \cdot \color{red}{\frac{1}{6} t^3} \\
&=& \frac{\lambda^4 \cdot t^3 \cdot e^{- \lambda t} }{3 \cdot 2} \\
\end{eqnarray} \)

となります．

次はnステップ．