ガンマ分布と逐次反応-04

・nステップ

今までの結果をまとめると，

\( \Large P_{n=2} = \lambda^2 \cdot t \cdot e^{- \lambda t} \)

\( \Large P_{n=3} = \frac{\lambda^3 \cdot t^2 \cdot e^{- \lambda t} }{2} \)

\( \Large P_{n=4} = \frac{\lambda^4 \cdot t^3 \cdot e^{- \lambda t} }{3 \cdot 2} \)

となりますので，

\( \Large P_{n} = \frac{\lambda^n \cdot t^{n-1} \cdot e^{- \lambda t} }{(n-1)!} \)

という関係を得ることができます．

・ガンマ分布

ガンマ分布は，

\( \Large P(x) = \frac{x^{\alpha-1} \cdot e^{- \frac{x}{\theta}} }{\Gamma(\alpha) \cdot \Theta^{\alpha}} \)

です．ここで変数を，
　x　→　t　：　（時間）
　θ　→　1/λ　：　（λはステップの速度定数）
　α　→　ｎ　：　（逐次反応のステップ数）
と置き換えると，

\( \begin{eqnarray} \Large P(t) &=& \frac{t^{n-1} \cdot e^{- \lambda t}}{(n-1)! \cdot \left( \frac{1}{\lambda} \right)^n} \\
&=& \frac{\lambda^n \cdot t^{n-1} \cdot e^{- \lambda t}}{(n-1)! } \\
\end{eqnarray} \)

となり，ｎステップの逐次反応とガンマ分布は同じ関数になることがわかります