RLC回路-03

\( \Large \left( \frac {R}{2L} \right) ^2 < \frac{1}{LC} \) の場合　（減衰振動）

この場合には，
　平方根の中がマイナス　＝　虚数項が発生する
ことになります，これは，
\( \Large \sqrt { \left( \frac {R}{2L} \right) ^2 - \frac{1}{LC}} \)

が虚数となります．

そこで，

\( \Large \sqrt{ \left( \frac {R}{2L} \right) ^2 - \frac{1}{LC}} = i \ \sqrt{ \frac{1}{LC}　- \left( \frac {R}{2L} \right) ^2 } = i \ \omega 　\)

とおくと，

\( \Large x = e^{-\frac {R}{2L} t} \left[ A \ e^{ i \ \omega t} +B \ e^{ - i \ \omega t } \right] 　\)

と簡単になります．

初期条件

初期条件を，

\( \Large t=0 　\longrightarrow x=1 \)

\( \Large t=0 　\longrightarrow x'=0 \)

とすると，

\( \Large 1 = A+B 　\)

\( \Large x'(t) = -\frac {R}{2L} e^{-\frac {R}{2L} t} \left[ A \ e^{ i \ \omega t} +B \ e^{ - i \ \omega t } \right]
+ 　e^{-\frac {R}{2L} t} \left[ A (i \ \omega) \ e^{ i \ \omega t} +B (-i \ \omega)\ e^{ - i \ \omega t } \right]\)

\( \Large \begin{eqnarray} x'(0) &=& -\frac {R}{2L} (A+B) +\left[ A (i \ \omega) +B (-i \ \omega) \right] \\
&=& -\frac {R}{2L} +i \ \omega( A-B) \\
&=& 0 \\
\end{eqnarray}　\)

\( \Large A-B= \frac{R}{2i L \omega} = - \frac{i R}{2 L \omega}　\)

\( \Large A= \frac{1}{2} \left( 1-\frac{i R}{2 L \omega} \right)　\)

\( \Large B= \frac{1}{2} \left( 1+\frac{i R}{2 L \omega} \right)　\)

となります．

オイラーの公式，

\( \Large e^{ \pm i \theta} = cos \theta \pm i \ sin \theta　\)

と使って，

\( \Large \begin{eqnarray} x &=& e^{-\frac {R}{2L} t} \left[ A \ \left( cos \omega t + i \ sin \omega t \right) +B \ \left( cos \omega t - i \ sin \omega t \right) \right] \\
&=& e^{-\frac {R}{2L} t} \left[ (A+B) \ cos \omega t + i \ (A-B) \ sin \omega t \right] \\
\end{eqnarray}　\)

物理量ｘが実数であることから，

\( \Large A = \frac{C_1-i C_2}{2}　\)

\( \Large B = \frac{C_1+i C_2}{2}　\)

とおくと，

\( \Large C_1 = 1　\)

\( \Large C_2 = \frac{ R}{2 L \omega}　\)

\( \Large \begin{eqnarray} x &=& e^{-\frac {R}{2L} t} \left[ (A+B) \ cos \omega t + i \ (A-B) \ sin \omega t \right] \\
&=& e^{-\frac {R}{2L} t} \left[ C_1 \ cos \omega t + C_2 \ sin \omega t \right] \\
\end{eqnarray}　\)

ここで，

\( \Large C_{12} = \sqrt{C_1^2+ C_2^2}　= \sqrt{1+ \left( \frac{ R}{2 L \omega} \right)^2} \)

\( \Large cos \alpha = \frac{C_1}{C_{12} } \)

\( \Large sin \alpha = -\frac{C_2}{C_{12} } \)

とすると，先ほどの式は，

\( \Large \begin{eqnarray} x &=& e^{-\frac {R}{2L} t} \left[ C_1 \ cos \omega t + C_2 \ sin \omega t \right] \\
&=& e^{-\frac {R}{2L} t} \left[ C_{12} \ cos \alpha \ cos \omega t - C_{12} \ sin \alpha \ sin \omega t \right] \\
&=& C_{12} \ e^{-\frac {R}{2L} t} \left[ cos \alpha \ cos \omega t - sin \alpha \ sin \omega t \right] \\
\end{eqnarray}　\)

となります．

三角関数の加法定理，

\( \Large cos \alpha \ cos \beta - sin \alpha \ sin \beta = cos ( \alpha +\beta) \)

より，

\( \Large x = \sqrt{1+ \left( \frac{ R}{2 L \omega} \right)^2} \ e^{-\frac {R}{2L} t} cos ( \omega t + \alpha )\)

となります．

つまり，
　減衰する指数項
　振動する三角関数項
の積となるのです．

図示すると，

のようになります．
　実線：　\( \Large x = \sqrt{1+ \left( \frac{ R}{2 L \omega} \right)^2} \ e^{-\frac {R}{2L} t} cos ( \omega t + \alpha ) \)
　点線：　\( \Large x = \sqrt{1+ \left( \frac{ R}{2 L \omega} \right)^2} \ e^{-\frac {R}{2L} t} \)

となります，振動しながら減衰していく様子が分かります．

ちょうど振り子の振動が徐々に小さくなってくる様子です．

次のページに，\( \Large R ^2 = \frac{2L}{C} \)の場合についての計算を行います．