ラプラス変換_運動方程式

こちらのサイト，を参考にしました，ありがとうございました

運動方程式

運動方程式は，

\( \Large \displaystyle m \ \frac{d^2 x}{dt^2} + \gamma \frac{dx}{dt} +K \ x = 0\)

となります．ここで，

m : 質量
γ : 粘性抵抗係数
K : ばね定数

です．ここで，

\( \Large \displaystyle \omega \equiv \sqrt{ \frac{K}{m}}\)

\( \Large \displaystyle k \equiv \frac{\gamma}{2m}\)

とすると，

\( \Large \displaystyle \frac{d^2 x}{dt^2} + \frac{\gamma}{m} \frac{dx}{dt} + \frac{K}{m} \ x = \rightarrow \frac{d^2 x}{dt^2} + 2k \frac{dx}{dt} + \omega^2 \ x = 0\)

ラプラス変換を行うと，

\( \Large \displaystyle \left[ s^2 \ F(s) - s \ f(0) -f'(0)\right] + 2k \left[ s \ F(s) - f(0) \right] + \omega^2 \ F(s) = 0\)

\( \Large \displaystyle \left[ s^2 + 2ks+ \omega^2 \right] F(s) - s \ f(0) - f'(0) - 2k \ f(0) = 0\)

\( \Large \displaystyle F(s) =\frac{ s \ f(0) + f'(0) + 2k \ f(0)}{s^2 + 2ks+ \omega^2 } \)

分母に着目すると，分母＝０の場合の解は

\( \Large \displaystyle s^2 + 2ks+ \omega^2 = 0 \)

\( \Large \displaystyle s = \frac{-2k \pm \sqrt{4k^2 -4 \omega^2 }}{2}
= - k \pm \sqrt{k^2 - \omega^2} \)

この平方根の中の値によって解が変わってきます（ｋとωとの大小関係）

そこで，
　k>ω
　k=ω
　k<ω
の場合に分けて考えていきます．

まずは， k>ω，から