ラプラス変換_逐次反応

こちらのサイト，を参考にしました，ありがとうございました

逐次反応

逐次反応において，

\( \Large \ce{x ->[\ k_1 \ ] y ->[\ k_2 \ ] z} \)

となります．

x,y,zの時間変化は，

\( \Large \displaystyle x'[t] = -k_{1} \cdot x[t] \)

\( \Large \displaystyle y'[t] = k_{1} \cdot x[t] - k_{2} \cdot y[t]\)

\( \Large \displaystyle z'[t] = k_{2} \cdot y[t] \)

\( \Large \displaystyle x[t] + y[t] + z[t] = 1 \)

初期条件として，

\( \Large \displaystyle x[0] =1, \ y[0] = z[0] = 0 \)

とします．

ｘに関しては，一次反応と同じなので，

\( \Large \displaystyle x[t] = e^{-k_1 t} \)

ラプラス変換した値は，

\( \Large \displaystyle X[s] = \frac{1}{s+k_1 } \)

となります．

yについてラブラス変換を行うと，

\( \Large \displaystyle s \ Y[s] - y[0] = k_{1} \cdot X[s] - k_{2} \ Y[s] \)

\( \Large \displaystyle (s+k_2) \ Y[s] = y[0] + k_{1} \cdot X[s] = \frac{k_1}{s+k_1 }\)

\( \Large \displaystyle Y[s] = \frac{k_1}{(s+k_1)(s+k_2) }\)

右辺を部分分数分解を行うと，

\( \Large \displaystyle \frac{ k_{1}}{(s+k_1)(s+k_2)} = k_{1} \left\{ \frac{ \alpha}{s+k_1} + \frac{ \beta}{s+k_2} \right\}
= k_{1} \frac{ \alpha (s+k_2) + \beta \ (s+k_1)}{(s+k_1)(s+k_2)}
= k_{1} \frac{ (\alpha + \beta)s + \alpha \ k_2+\beta k_1}{s(s+k)}\)

したがって，

\( \Large \displaystyle \alpha + \beta = 0 \rightarrow \alpha = - \beta\)

\( \Large \displaystyle \alpha \ k_2+\beta k_1=1 \rightarrow \alpha \ k_2-\alpha k_1=1
\rightarrow \alpha (-k_1 + k_2)=1 \)

\( \Large \displaystyle \alpha = \frac{1}{k_2 - k_1}\)

\( \Large \displaystyle \beta = -\frac{1}{k_2 - k_1}\)

\( \Large \displaystyle Y[s] = \frac{k_1}{(s+k_1)(s+k_2) }
= \frac{k_1}{k_2 - k_1} \left\{ \frac{ 1}{s+k_1} - \frac{ 1}{s+k_2} \right\} \)

\( \Large \color{red}{\mathfrak{ L} \{ e^{-at} \} = \displaystyle \frac{1}{s+a}} \)

から，

\( \Large \displaystyle y[t] = \frac{k_1}{k_2 - k_1} \left\{ e^{-k_1 \ t} - e^{-k_2 t} \right\} \)

zは，

\( \Large \displaystyle z[t] = 1 - x[t]- y[t] \)

となるので，

\( \Large \displaystyle z[t] = 1 - e^{-k_1 t}- \frac{k_1}{k_2 - k_1} \left\{ e^{-k_1 \ t} - e^{-k_2 t} \right\} \)

\( \Large \hspace{30 pt} \displaystyle = 1 -\frac{k_2 - k_1}{k_2 - k_1} e^{-k_1 t}- \frac{k_1}{k_2 - k_1} e^{-k_1 \ t} - \frac{k_1}{k_2 - k_1}e^{-k_2 t} \)

\( \Large \hspace{30 pt} \displaystyle = 1 -\frac{k_2 }{k_2 - k_1} e^{-k_1 t}- \frac{k_1}{k_2 - k_1}e^{-k_2 t} \)

となります．

逆反応が存在する逐次反応や，3つの状態が循環する反応も解いてみようと思ったのですが．．．．複雑しすぎて諦めました．

次は，運動方程式です．