ラプラス変換_平衡反応

平衡反応

平衡反応において，

\( \Large \hspace{15 pt} \ce{A <=>C[ k_{AB} ][k_{BA}]B} \)

となります．

Aの時間変化は，

\( \Large \displaystyle A'[t] = -k_{AB} \cdot A[t] + k_{BA} \cdot B[t]\)

AとBの和は保存しますので，

\( \Large \displaystyle A[t] + B[t] =1\)

単純に総和を１とします．すると，

\( \Large \displaystyle A'[t] = -k_{AB} \cdot A[t] + k_{BA} \cdot (1-A[t])\)

\( \Large \hspace{30 pt} = -(k_{AB} + k_{BA}) \cdot A[t] + k_{BA} \)

となります．ラプラス変換を行うと，微分は，

\( \Large\color{red}{\mathfrak{ L} \{ \displaystyle \frac{d \ f(t)}{t} \} = s \ F(s) - f(0)} \)

となるので，

\( \Large \displaystyle s \ F(s) - 1 = -(k_{AB} + k_{BA}) \ F(s) + \frac{ k_{BA}}{s} \)

ここで，単純化するために，

\( \Large \displaystyle k \equiv k_{AB} + k_{BA} \)

とすると，

\( \Large \displaystyle s \ F(s) - 1 = -k \ F(s) + \frac{ k_{BA}}{s} \)

\( \Large \displaystyle (s+k) \ F(s) = 1 + \frac{ k_{BA}}{s} \)

\( \Large \displaystyle F(s) = \frac{1}{s+k} + \frac{ k_{BA}}{s(s+k)} \)

右辺第二項を部分分数分解を行うと，

\( \Large \displaystyle \frac{ k_{BA}}{s(s+k)} = k_{BA} \left\{ \frac{ \alpha}{s} + \frac{ \beta}{s+k} \right\}
= k_{BA} \frac{ \alpha (s+k) + \beta \ s}{s(s+k)}
= k_{BA} \frac{ (\alpha + \beta)s + \alpha \ k}{s(s+k)}\)

したがって，

\( \Large \displaystyle \alpha = \frac{1}{k} \ \beta = - \frac{1}{k} \)

となるので，

\( \Large \displaystyle \frac{ k_{BA}}{s(s+k)} = \frac{k_{BA}}{k} \left\{ \frac{ 1}{s} - \frac{ 1}{s+k} \right\} \)

まとめると，

\( \Large \displaystyle F(s) = \frac{1}{s+k} + \frac{k_{BA}}{k} \frac{ 1}{s} - \frac{k_{BA}}{k} \frac{ 1}{s+k} \)

\( \Large \color{red}{\mathfrak{ L} \{ K \} = \displaystyle \frac{K}{s}}\)

\( \Large \color{red}{\mathfrak{ L} \{ e^{-at} \} = \displaystyle \frac{1}{s+a}} \)

から，

\( \Large \displaystyle A[t] = e^{-kt} + \frac{k_{BA}}{k} - \frac{k_{BA}}{k} e^{-k t}\)

\( \Large \hspace{30 pt} \displaystyle = (1 - \frac{k_{BA}}{k}) e^{-k t}+ \frac{k_{BA}}{k}\)

\( \Large \hspace{30 pt} \displaystyle = (\frac{ k_{AB} + k_{BA}}{ k_{AB} + k_{BA}} - \frac{k_{BA}}{ k_{AB} + k_{BA}}) e^{-k t}+ \frac{k_{BA}}{k}\)

\( \Large \hspace{30 pt} \displaystyle = \frac{ k_{AB} }{ k_{AB} + k_{BA}} e^{-k t}+ \frac{k_{BA}}{k_{AB} + k_{BA}}\)

となり，

t=0

\( \Large \displaystyle A[0] = \frac{ k_{AB} }{ k_{AB} + k_{BA}} e^{-k \ 0}+ \frac{k_{BA}}{k_{AB} + k_{BA}} =1 \)

t=∞

\( \Large \displaystyle A[0] = \frac{ k_{AB} }{ k_{AB} + k_{BA}} e^{-k \ \infty}+ \frac{k_{BA}}{k_{AB} + k_{BA}} =\frac{k_{BA}}{k_{AB} + k_{BA}} \)

Aは指数関数的に減少していき，ある一定に落ち着くことがわかります．

次は，逐次反応です．