ラプラス変換_一次反応

一次の化学反応

単純な一次の化学平衡において，

\( \Large \ce{A ->[\ k \ ] B} \)

となります．

Aの時間変化は，

\( \Large \displaystyle A'[t] = -k \cdot A[t] \)

\( \Large \displaystyle A'[t] + k \cdot A[t] =0 \)

となります．ラプラス変換を行うと，微分は，

\( \Large\color{red}{\mathfrak{ L} \{ \displaystyle \frac{d \ f(t)}{t} \} = s \ F(s) - f(0)} \)

となるので，

\( \Large \displaystyle s \ F(s) - A[0] + k \ F(s) =0 \)

\( \Large \displaystyle (s+k) \ F(s) = A[0] \)

\( \Large \displaystyle F(s) = \frac{A[0]}{s+k} \)

初期条件

\( \Large \displaystyle A[0] = A_0 \)

とすると，

\( \Large \displaystyle F(s) = \frac{A_0}{s+k} \)

\( \Large \color{red}{\mathfrak{ L} \{ e^{-at} \} = \displaystyle \frac{1}{s+a}} \)

から，

\( \Large \displaystyle A[t] = A_0 \ e^{-kt} \)

となり，Aは指数関数的に減少していくことがわかります．

次は，平衡反応です．