ランジュバン方程式-03

さて，

\(\Large \frac{d(<x^2>)}{dt} \equiv f \)

なので，fを積分して

\(\Large <x^2> = \frac{2 k_B T}{\gamma} \left[ t - \left( - \frac{m}{\gamma} \right) exp \left( - \frac{\gamma}{m} t \right) + C \right] \)

となります．

t=0で，<x²>=0 なので，

\(\Large 0 = \frac{2 k_B T}{\gamma} \left[ \frac{m}{\gamma} + C \right] \)

となります，したがって，

\(\Large C = - \frac{m}{\gamma} \)

と置くことができ，

\(\Large <x^2> = \frac{2 k_B T}{\gamma} \left[ t + \frac{m}{\gamma} \left( exp \left( - \frac{\gamma}{m} t \right) -1 \right) \right] \)

となります．

ここで，

\(\Large \tau =\frac{m}{\gamma} \)

と時定数で考えることができます．タンパク質などのミクロな物体の時定数は，ここ，で計算したようにとても小さい値を示します．
現在の，計測装置ではほとんど無視できる時間なので，十分に長い時間では，

\(\Large <x^2> = \frac{2 k_B T}{\gamma} t \)

とすることができます．ここ，で示したように，

\(\Large D = \frac{k_B T}{\gamma} \)

なので，

\(\Large <x^2> = 2 D t \)

となり，拡散の式を導き出すことができました．