ランジュバン方程式-02

ここで，

\(\Large \frac{d(<x^2>)}{dt} \equiv f \)

とおいて式を変形していきましょう．すると，

\(\Large \frac{1}{2} m \frac{df}{dt} - k_B T+ \frac{1}{2} \gamma f = 0 \)

となります．

次にこの微分方程式を解いていきましょう．

\(\Large \frac{df}{dt} = - \frac{\gamma}{m} f + \frac{2 k_B T}{m} \)

定数項を無視すると，

\(\Large f = A exp \left( - \frac{\gamma}{m} t \right) \)

定数Aを変数として，

\(\Large \frac{df}{dt} = A' exp \left( - \frac{\gamma}{m} t \right) - \frac{\gamma}{m} f =- \frac{\gamma}{m} f + \frac{2 k_B T}{m} \)

\(\Large A' exp \left( - \frac{\gamma}{m} t \right) = \frac{2 k_B T}{m} \)

\(\Large A' = \frac{2 k_B T}{m} exp \left( \frac{\gamma}{m} t \right) \)

積分すると，

\(\Large A = \frac{2 k_B T}{m} \frac{m}{\gamma} exp \left( \frac{\gamma}{m} t \right) + B\)

となり，従って，

\(\Large f = \left[ \frac{2 k_B T}{\gamma} exp \left( \frac{\gamma}{m} t \right) + B \right] exp \left( - \frac{\gamma}{m} \right) t = \frac{2 k_B T}{\gamma} + B exp \left( - \frac{\gamma}{m} t \right) \)

となります．t=0でf=0なので，

\(\Large 0 = \frac{2 k_B T}{\gamma} + B \)

となるので，

\(\Large B = - \frac{2 k_B T}{\gamma} \)

となり，

\(\Large f = \frac{2 k_B T}{\gamma} \left[ 1-exp \left( - \frac{\gamma}{m} t \right) \right] \)

となります．次のページに行きましょう．