フーリエ級数展開-11
フーリエ級数展開では，複素数表示，の方が計算が楽になります．
そこで，三角関数表示と複素数表示との関係を見ていきましょう．
ここでは，フーリエ級数展開は，こちらに示してある，二つの方法から，以下の式を用います．
\( \Large \displaystyle f(x) = \color{red}{a_0} + \sum_{n=1}^{ \infty} \left( a_n \ cos \frac{2 \pi n x}{T} + b_n \ sin \frac{2 \pi n x}{T}\right) \)
各定数は，
\( \Large \displaystyle a_0 = \color{red}{\frac{1}{T}} \int_0^T f(x) \ dx \)
\( \Large \displaystyle a_n = \frac{2}{T} \int_0^T f(x) \ cos \frac{2 \pi n x}{T} \ dx \)
\( \Large \displaystyle b_n = \frac{2}{T} \int_0^T f(x) \ sin \frac{2 \pi n x}{T} \ dx \)
となります．積分範囲を，ーL～L，に変換して，
\( \Large \displaystyle f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{ \infty} \left( a_n \ cos \ n \frac{ \pi}{L}x + b_n \ sin \ n \frac{ \pi}{L}x \right) \)
\( \Large \displaystyle a_0 = \frac{1}{2L} \int_{- L}^{ L} f(x) \ dx \)
\( \Large \displaystyle a_n = \frac{1}{L} \int_{ - L}^{ L} f(t) \ cos \ \left( n\frac{ \pi}{L}x \right) \ dx \)
\( \Large \displaystyle b_n = \frac{1}{L} \int_{ - L}^{ L} f(x) \ sin \ \left( n\frac{ \pi}{L}x \right) \ dx \)
となります，
オイラーの公式から，
\( \Large \displaystyle e^{ i \theta} = cos \ \theta + i \ sin \ \theta \)
\( \Large \displaystyle e^{ -i \theta} = cos \ (-\theta) + i \ sin \ (-\theta) = cos \ \theta - i \ sin \ \theta \)
\( \Large \displaystyle cos \ \theta = \frac{ e^{i \theta} + e^{i \theta}}{2} \)
\( \Large \displaystyle sin \ \theta = \frac{ e^{i \theta} - e^{i \theta}}{2i} \)
となるので，フーリエ級数展開の三角関数を複素数表示にすると，
\( \Large \displaystyle cos \ \left( n\frac{ \pi}{L}x \right) = \displaystyle \frac{ e^{i \frac{ n \pi}{L}x } + e^{-i \frac{ n\pi}{L}x }}{2} \)
\( \Large \displaystyle sin \ \left( n\frac{ \pi}{L}x \right) = \displaystyle \frac{ e^{i \frac{ n \pi}{L}x } - e^{-i \frac{ n\pi}{L}x }}{2i} \)
となりますので，各係数，an, bn, を複素数表示にすると，anは，
\( \Large \displaystyle a_n = \frac{1}{L} \int_{ - L}^{ L} f(t) \ cos \ \left( n\frac{ \pi}{L}x \right) \ dx = \frac{1}{L} \int_{ - L}^{ L} f(t) \ \displaystyle \frac{ e^{i \frac{ n \pi}{L}x } + e^{-i \frac{ n\pi}{L}x }}{2} \ dx \)
\( \Large \displaystyle = \frac{1}{2L} \int_{ - L}^{ L} f(t) \ \displaystyle e^{i \frac{ n \pi}{L}x } \ dx + \frac{1}{2L} \int_{ - L}^{ L} f(t) \ \displaystyle e^{- i \frac{ n \pi}{L}x } \ dx\)
第二項を，
\( \Large \displaystyle C_n \equiv \frac{1}{2L} \int_{ - L}^{ L} f(t) \ \displaystyle e^{- i \frac{ n \pi}{L}x } \ dx\)
と置くと，第一項は，
\( \Large \displaystyle \frac{1}{2L} \int_{ - L}^{ L} f(t) \ \displaystyle e^{ i \frac{ n \pi}{L}x } \ dx = \frac{1}{2L} \int_{ - L}^{ L} f(t) \ \displaystyle e^{ -i \frac{ (-n) \pi}{L}x } \ dx = C_{-n} \)
となるので，
\( \Large \displaystyle a_n = C_{-n} + C_n \)
と記すことができます．bnも同様に，
\( \Large \displaystyle b_n = \frac{1}{L} \int_{ - L}^{ L} f(t) \ sin \ \left( n\frac{ \pi}{L}x \right) \ dx = \frac{1}{L} \int_{ - L}^{ L} f(t) \ \displaystyle \frac{ e^{i \frac{ n \pi}{L}x } - e^{-i \frac{ n\pi}{L}x }}{2i} \ dx \)
\( \Large \displaystyle = \frac{1}{2iL} \int_{ - L}^{ L} f(t) \ \displaystyle e^{i \frac{ n \pi}{L}x } \ dx - \frac{1}{2iL} \int_{ - L}^{ L} f(t) \ \displaystyle e^{- i \frac{ n \pi}{L}x } \ dx\)
第二項を，
\( \Large \displaystyle C_n \equiv \frac{1}{2L} \int_{ - L}^{ L} f(t) \ \displaystyle e^{- i \frac{ n \pi}{L}x } \ dx\)
と置くと，第一項は，
\( \Large \displaystyle \frac{1}{2L} \int_{ - L}^{ L} f(t) \ \displaystyle e^{ i \frac{ n \pi}{L}x } \ dx = \frac{1}{2L} \int_{ - L}^{ L} f(t) \ \displaystyle e^{ -i \frac{ (-n) \pi}{L}x } \ dx = C_{-n} \)
となるので，
\( \Large \displaystyle b_n = -i (C_{-n} - C_n) \)
となります．もとのフーリエ級数に代入すると，
\( \Large \displaystyle f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{ \infty} \left( a_n \ cos \ n \frac{ \pi}{L}x + b_n \ sin \ n \frac{ \pi}{L}x \right) \)
\( \Large \displaystyle = C_0 + \sum_{n=1}^{ \infty} \left\{ ( C_{-n} + C_n) \displaystyle \frac{ e^{i \frac{ n \pi}{L}x } + e^{-i \frac{ n\pi}{L}x }}{2} - \color{red}{i}(C_{-n} - C_n) \displaystyle \frac{ e^{i \frac{ n \pi}{L}x } - e^{-i \frac{ n\pi}{L}x }}{2\color{red}{i}} \right\} \)
\( \Large \displaystyle = C_0 + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{ \infty} \left( \color{red}{C_{-n} \cdot e^{i \frac{ n \pi}{L}x }} + C_{-n} \cdot e^{-i \frac{ n \pi}{L}x } + C_{n} \cdot e^{i \frac{ n \pi}{L}x } + \color{blue}{C_{n} \cdot e^{-i \frac{ n \pi}{L}x} }\right. \)
\( \Large \displaystyle \hspace{85pt} \left. \color{red}{-C_{-n} \cdot e^{i \frac{ n \pi}{L}x }} + C_{-n} \cdot e^{-i \frac{ n \pi}{L}x } + C_{n} \cdot e^{i \frac{ n \pi}{L}x } \color{blue}{- C_{n} \cdot e^{-i \frac{ n \pi}{L}x }}\right) \)
と色がついたところがキャンセルされるので，
\( \Large \displaystyle = C_0 + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{ \infty} \left( 2 C_{n} \cdot e^{i \frac{ n \pi}{L}x } + 2 C_{-n} \cdot e^{- \frac{ n \pi}{L}x } \right) \)
\( \Large \displaystyle = C_0 + \sum_{n=1}^{ \infty} \left( C_{n} \cdot e^{i \frac{ n \pi}{L}x } + C_{-n} \cdot e^{-i \frac{ n \pi}{L}x } \right) \)
\( \Large \displaystyle = C_0 + \sum_{n=1}^{ \infty} C_{n} \cdot e^{i \frac{ n \pi}{L}x } + \sum_{n=1}^{ \infty} C_{-n} \cdot e^{-i \frac{ n \pi}{L}x }\)
第三項の極性を反転させると，m = -n，
\( \Large \displaystyle \sum_{n=1}^{ \infty} C_{-n} \cdot e^{-i \frac{ n \pi}{L}x } = \sum_{ m = -1}^{-\infty} C_{m} \cdot e^{i \frac{ m \pi}{L}x }
\rightarrow
\sum_{ m = -\infty}^{-1} C_{m} \cdot e^{i \frac{ m \pi}{L}x } \rightarrow
\sum_{ n = -\infty}^{-1} C_{n} \cdot e^{i \frac{ n \pi}{L}x }\)
となるので，一つにまとめられて，
\( \Large \displaystyle \color{red}{f(x) = \sum_{n= - \infty}^{ \infty} C_{n} \cdot e^{i \frac{ n \pi}{L}x }} \)
\( \Large \displaystyle \color{red}{C_n = \frac{1}{2L} \int_{ - L}^{ L} f(t) \ \displaystyle e^{- i \frac{ n \pi}{L}x } \ dx } \)
とまとめることができます．
ここで，注意すべき点は，
加算範囲が，三角関数の場合は，1～∞，だが，複素数表示では，-∞～∞，となっている
定数が，三角関数の場合には，a0, an, bn，だが，複素数表示では，Cn，は一つである
ことですね．
オイラーの公式からもわかるように．指数は正弦波，余弦波，をまとめたものなので，複素数表示では，すっきりしているのでしょう．
次からは，実際にいろいろな波形をフーリエ級数展開してみましょう