実際の反応スキームと，FRETratioとの関係
Fig.7-A，にありますように，
という4状態を考えていきます．
それぞれの反応式は定常状態を考えると，（式中の式番号は，Supplementary Materials，の番号）
\(\Large \frac{d[Y]}{dt} = -[A] \cdot k_{+A} \cdot [Y] + k_{-Z \cdot Yp}[Z \cdot Yp] + k_{-p} \cdot [Yp] = 0 \hspace{40pt} (1) \)
\(\Large \frac{d[A \cdot Y]}{dt} = - k_{+p} \cdot [A \cdot Y] + [A] \cdot k_{+A} \cdot [Y] = 0 \hspace{40pt} (2) \)
\(\Large \frac{d[Y_p]}{dt} = -[Z] \cdot k_{+Z} \cdot [Yp] - k_{-p}[ Yp] + k_{+p} \cdot [A \cdot Y] + k_{-Z} \cdot [Z \cdot Yp]= 0 \hspace{40pt} (3) \)
\(\Large \ \frac{d[Z \cdot Yp]}{dt} = - k_{-Z \cdot Yp} \cdot [Z \cdot Yp] - k_{-Z}[Z \cdot Yp] + [Z] \cdot k_{+Z} \cdot [Y_p] = 0 \hspace{40pt} (4) \)
となります．第4式は，
\(\Large [Yp] = \displaystyle \frac{ (k_{-Z \cdot Yp} + k_{-Z}) [Z \cdot Yp]}{ [Z] \cdot k_{+Z} } \hspace{40pt} (5) \)
となり，Zの保存則から，
\(\Large [Z_0] = [Z] + [Z \cdot Yp] \hspace{40pt} (6) \)
なので，
\(\Large [Yp] = \displaystyle \frac{ (k_{-Z \cdot Yp} + k_{-Z}) [Z \cdot Yp]}{ ([Z_0] - [Z \cdot Yp]) \cdot k_{+Z} } \hspace{40pt} (7) \)
となります．
[Z・Yp]はFRETが起きる条件であり，[Z]はFRETが起きない条件であるので，FRETを計測することにより，[Yp]を推定できることになります．
ただし，FRETがそのまま各濃度を反映するわけではないです．実験系では，あるフィルターのみを透過する光強度しか計測していないので．
ただ，
\(\Large YFP channel \propto [Z \cdot Yp] \)
\(\Large CFP channel \propto [Z ] \)
であることは正しいと思うので（それぞれの比例係数は異なる），それぞれの比例係数を推定していきたいとおもいます．
（それぞれのチャンネルは，CT補正後の値となります）．
・[Z・Yp]の推定
FRET効率が変化して，[Z・Yp]，[Z]の量が変わると，それぞれのチャンネル成分は以下のように変化すると考えられます．
この図において，
YY ：YFP channelにおけるVenusの蛍光強度
YZ ：YFP channelにおけるCFPの蛍光強度
CZ ：CFP channelにおけるCFPの蛍光強度
を考えると，それぞれ[Z・Yp]，[Z]に比例しているので，
\(\Large Y_Y = \alpha \cdot [Z \cdot Yp] \hspace{40pt} (8) \)
\(\Large Y_Z = 0.34 \cdot \beta \cdot [Z ] \hspace{40pt} (9) \)
\(\Large C_Z = \beta \cdot [Z ] \hspace{40pt} (10) \)
と比例関係になります．クロストーク成分も考慮されています．
\(\Large FRET_{ ratio } = \frac{ YFP \ channel - 0.34 \times CFP \ channel}{CFP \ channel} = \displaystyle \frac{ Y_Y + Y_Z}{C_Z} \)
\(\Large = \displaystyle \frac{ \alpha \cdot [Z \cdot Yp] + 0.34 \cdot \beta \cdot [Z ]}{\beta \cdot [Z ]} \hspace{40pt} (11) \)
となります．式を変形すると，
\(\Large FRET_{ ratio } = \displaystyle \frac{ \alpha \cdot [Z \cdot Yp] + 0.34 \cdot \beta \cdot [Z ]}{\beta \cdot [Z ]} \)
\(\Large \beta \cdot [Z ] \cdot FRET_{ ratio } = \alpha \cdot [Z \cdot Yp] + 0.34 \cdot \beta \cdot [Z ] \)
\(\Large (\beta \cdot FRET_{ ratio } - 0.34 \cdot \beta) \cdot [Z ] = \alpha \cdot [Z \cdot Yp] \)
\(\Large (\beta \cdot FRET_{ ratio } - 0.34 \cdot \beta) \cdot ( [Z_0] - [Z \cdot Yp]) = \alpha \cdot [Z \cdot Yp] \)
\(\Large (\beta \cdot FRET_{ ratio } - 0.34 \cdot \beta) \cdot [Z_0] - (\beta \cdot FRET_{ ratio } - 0.34 \cdot \beta) \cdot [Z \cdot Yp] = \alpha \cdot [Z \cdot Yp] \)
\(\Large (\alpha + \beta \cdot FRET_{ ratio } - 0.34 \cdot \beta) \cdot [Z \cdot Yp] = (\beta \cdot FRET_{ ratio } - 0.34 \cdot \beta) \cdot [Z_0] \)
\(\Large [Z \cdot Yp] = \displaystyle \frac{\beta (\cdot FRET_{ ratio } - 0.34 ) \cdot [Z_0]}{ (\alpha + \beta \cdot FRET_{ ratio } - 0.34 \cdot \beta)} \)
\(\Large \hspace{50pt} = \displaystyle \frac{ ( FRET_{ ratio } - 0.34 ) \cdot [Z_0]}{ (\displaystyle \frac{\alpha}{\beta} + FRET_{ ratio } - 0.34 )} \hspace{40pt} (12) \)
となり，α，β，それぞれの値ではなく，その比を求めればいいことになります．
次はα，β，の推定，について検証してきましょう．
