eの値の導き出し方-02

このまた，微分の公式は，

\( \Large \displaystyle \frac{d \ y}{dx} = \displaystyle \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ \Delta y }{ \Delta x} \)

と書くこともできるので，

\( \Large \displaystyle \begin{eqnarray} \frac{dy }{ dx}
&=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{y }{ log_a \ A} \\
&=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{a^x }{ log_a \ A} \\
&=& a^x \times \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{1 }{ log_a \ A} \\
\end{eqnarray} \)

となります．つまり．．．．

\( \Large \displaystyle \lim_{ \Delta x \to 0 } [ log_a \ A] = 1 \)

を満たせば，aの値を求めることができます．これは，

\( \Large \displaystyle a^1 = a = A \)

と同義であるので，

\( \Large \displaystyle a = A = \lim_{ \Delta y \to 0 } \left( 1 + \frac{\Delta y}{ y} \right)^{\frac{y }{ \Delta y}} \)

となります（ここで，Δｘ→０の時，Δｙ→０ので）．
ここで，Δｙ/y＝ｔ，と置けば，

\( \Large \displaystyle a = \lim_{ t \to 0 } \left( 1 + t \right)^{\frac{1 }{ t}} \)

となり，aの値を求めることができます．
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