eの値の導き出し方-01

この，e，はどんな値となるでしょうか？

\( \Large \displaystyle y = a^x \)

として，先の微分の公式に当てはめて，a，を求めてみましょう．
ここで，まず上記の式を変形して，

\( \Large \displaystyle x = log_a \ y \)

と置き換えます．そして，

\( \Large \displaystyle x + \Delta x = log_a \ (y + \Delta y) \)

\( \Large \displaystyle \begin{eqnarray} \Delta x
&=& log_a \ (y + \Delta y) - x \\
&=& log_a \ (y + \Delta y) - log_a \ y \\
&=& log_a \left( \frac{y + \Delta y}{ y} \right) \\
&=& log_a \left( 1 + \frac{\Delta y}{ y} \right)
\end{eqnarray} \)

とΔｘを導き出します．
ここで，両辺をΔｙで割り，さらに右辺にy/yをかけます．

\( \Large \displaystyle \begin{eqnarray} \frac{\Delta x }{ \Delta y}
&=& \frac{y }{ y}\frac{1 }{ \Delta y} log_a \left( 1 + \frac{\Delta y}{ y} \right) \\
&=& \frac{1 }{ y}\frac{y }{ \Delta y}log_a \left( 1 + \frac{\Delta y}{ y} \right) \\
&=& \frac{1 }{ y} log_a \left( 1 + \frac{\Delta y}{ y} \right)^{\frac{y }{ \Delta y}} \\
&=& \frac{1 }{ y} log_a A
\end{eqnarray} \)

ここで，

\( \Large \displaystyle A \equiv \left( 1 + \frac{\Delta y}{ y} \right)^{\frac{y }{ \Delta y}} \)

とおきました．次ページに行きましょう．