回折-04

n個のスリットの回折-三角関数編

 

スリットが3つの場合は,

\(\Large u_1 + u_2 + u_3 = A \sin ( \alpha + \beta ) \cdot \frac{ \sin \left( \frac{3 \beta}{2} \right)}{ \sin \frac{ \beta}{2}} \)

となるので,nこの場合には....

\(\Large u_1 + u_2 + u_3 = A \sin ( \alpha + \beta ) \cdot \frac{ \sin \left( \frac{n \beta}{2} \right)}{ \sin \frac{ \beta}{2}} \)

となるような気がしますね...確かめてみましょう.

n個のスリットの場合,

\(\Large u_n = A \sin [ \alpha + (n-1) \beta ] \)

となります.

3個のスリットの場合から考えると,

\(\Large u_1 + u_2 + u_3 = A \frac{ \cos \left( \alpha - \frac{\beta}{2} \right) - \cos \left( \alpha + \frac{5\beta}{2} \right)}{ 2 \sin \frac{\beta}{2}} \)

\(\Large u_1 + \cdots + u_n = A \frac{ \cos \left( \alpha - \frac{\beta}{2} \right) - \cos \left( \alpha + \left( n - \frac{1}{2} \right) \beta \right) }{ 2 \sin \frac{\beta}{2}} \)

となります.

前ページと同様に,
 三角関数の和差 → 三角関数の積
ですので,ここでまた,三角関数の公式,

\(\Large \sin W \cdot \sin Y = \frac{1}{2} \left[ \cos ( W -Y) - \cos ( W +Y ) \right] \)

を用いて,和差を積に直しましょう.

\(\Large W -Y = \alpha - \frac{\beta}{2} \)

\(\Large W +Y = \alpha + \left( n -\frac{1}{2} \right) \beta \)

とすればよいので,

\(\Large \begin{eqnarray} W &=& \frac{1}{2} \left[ \left( \alpha - \frac{\beta}{2} \right) + \left( \alpha + \left( \frac{2 n - 1}{2} \right) \right) \beta \right] \\ &=& \frac{1}{2} \left[ 2 \alpha + \left( \frac{2 n - 2}{2} \right) \beta \right] \\ &=& \alpha + \frac{n - 1}{2} \beta \end{eqnarray} \)

\(\Large \begin{eqnarray} Y &=& \frac{1}{2} \left[ \left( \alpha + \left( \frac{2 n - 1}{2} \right) \beta \right) - \left( \alpha - \frac{ \beta}{2} \right) \right] \\ &=& \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{2 n - 1}{2} \right) \beta + \frac{ \beta}{2} \right] \\ &=& \frac{1}{2} \frac{2 n}{2} \beta \\ &=& \frac{ \beta}{2} \end{eqnarray} \)

となります.従って,

\(\Large \begin{eqnarray} u_1 + \cdots + u_n &=& A \frac{ \cos \left( \alpha + \frac{n - 1}{2} \beta - \frac{n}{2} \beta \right) - \cos \left( \alpha + \frac{n - 1}{2} \beta + \frac{n}{2} \beta \right)}{ 2 \sin \frac{\beta}{2}} \\ &=& A \frac{\sin \left( \alpha + \frac{n - 1}{2} \beta \right) \cdot \sin \left( \frac{n}{2} \beta \right)}{ \sin \frac{ \beta}{2}} \end{eqnarray} \)

先に述べたように,αには時間項が含まれるので最初の部分が振動項となります.振幅は後者の項となります.従って,強度は,

\(\Large I \simeq \left[ \frac{ \sin \left( \frac{n \beta}{2} \right)}{ \sin \frac{ \beta}{2}} \right]^2\)

となります.

なかなか大変でしたね....
三角関数での計算は複雑になりがちです.

では,同じ計算を指数で行ったらどうなるのでしょう?

ここ,にあるようにとても計算が楽になります.

 

l t r