回折-05
二個のスリットの回折-指数関数編
スリットが2つの場合は,
\(\Large u_1 =A \sin \alpha \)
\(\Large u_2 =A \sin \left( \alpha + \beta \right) \)
とありましたね.これを指数で表すと,
\(\Large e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta \)
であるので,
\(\Large u_1 =A \ Im \ e^{ i \alpha} \)
\(\Large u_2 =A \ Im \ e^{ i ( \alpha + \beta)} \)
となります.ここで,Im,は虚数部分を示します.従って,
\(\Large \begin{eqnarray} u_1 + u_2 &=& Im \left[ A \ e^{ i \alpha} + A \ e^{ i ( \alpha + \beta)} \right] \\ &=& Im \left[ A \ e^{ i \alpha} \left( 1+ e^{ i \beta} \right) \right] \\ &=& Im \left[ A \ e^{ i \alpha} e^{ \frac{i}{2} \beta} \left( e^{ - \frac{i}{2} \beta} + e^{ \frac{i}{2} \beta} \right) \right] \\ &=& Im \left[ A \ e^{ i (\alpha + \frac{i}{2} \beta)} \right] \cdot 2 \ \cos \left( \frac{\beta}{2} \right) \\ &=& 2A \sin \left( \alpha + \frac{i}{2} \beta \right) \cdot \cos \left( \frac{\beta}{2} \right) \end{eqnarray} \)
となり,三角関数の場合と一致します.
では,n個のスリットの場合も計算してみましょう.