eix=i sin x + cos xのメリット
この関係式がどのように便利であるか？
その一つの例として，sin(a+b)を考えてみましょう．
公式集によると，
\( \Large \displaystyle sin (a+b) = sin \ a \ cos \ b + cos \ a \ sin \ b \)
とありますが，なかなか三角関数の公式を覚えるのは大変ですね．
これを指数関数で考えてみましょう．
\( \Large \displaystyle e^{ix} = cos \ x + i \ sin \ x \)
であるので，
eixの実数部分：cos x
eixの虚数部分：sin x
となります．
つまり，
指数で計算して，実数，虚数部分を取り出せば，cos，sin成分
となることがわかります． 実際に計算してみると，
\( \Large \displaystyle \begin{eqnarray} e^{i(a+b)} &=& e^{ia} \cdot e^{ib} \\
&=& ( cos \ a + i \ sin \ a) \cdot (cos \ b +i \ sin \ b) \\
&=& cos \ a \cdot cos \ b + i \ cos \ a \cdot sin \ b + i \ sin \ a \cdot cos \ b - sin \ a \cdot sin \ b
\end{eqnarray} \)
\( \Large \displaystyle Im \left[ e^{i(a+b)} \right] = cos \ a \cdot sin \ b + sin \ a \cdot cos \ b \)
= cos \ a \cdot sin \ b + \ sin \ a \cdot cos \ b \)
となり，簡単に解くことができますね．
次に，eix=i sin x + cos x，の別表示の仕方を考えましょう．