N個の目が出るサイコロを振って，”N”が出るまでの回数はどのような分布になるか?

次は分散です．

分散値を求めるには，なかなかややこしい計算ですが，こちらのサイト，を参考にしました，ありがとうございます．

いままでの計算をまとめると，

　\( \Large \displaystyle P(n) = C \cdot e^{an}\)

　\( \Large \displaystyle a \equiv ln \left( \frac{N-1}{N} \right) < 0\)

　\( \Large \displaystyle C \equiv \frac{1}{N-1} \)

とすると，

規格化を，

　\( \Large \displaystyle S_0 \equiv \sum_{n=1}^{\infty} P(n) = 1\)

平均値を，

　\( \Large \displaystyle S_1 \equiv \sum_{n=1}^{\infty} n P(n) = N \)

二乗平均値を，

　\( \Large \displaystyle S_2 \equiv \sum_{n=1}^{\infty} n^2 P(n) \)

とした場合に，分散値は，

　\( \Large \displaystyle Var = S_2 - S_1^2 \)

となる値を求めたいのです．

まずは，S₂

　\( \Large \displaystyle S_2 = C \sum_{n=1}^{\infty} n^2 e^{an}
= C \left[ e^a + 4 e^{2a} + 9 e^{3a} +.... \right] \)

\( \Large \displaystyle e^{a} \)　を掛けると，

　\( \Large \displaystyle e^{a} S_2
\hspace{77pt} = C \left[ \hspace{36pt} e^{2a} + 4 e^{3a} + 9 e^{4a} +.... \right] \)

その差分は，

　\( \Large \displaystyle (1 - e^a) S_2
\hspace{40pt} = C \left[ e^a + 3 e^{2a} + 5 e^{3a} +.... \right] \)

となります．

また，

　\( \Large \displaystyle S_0 = C \sum_{n=1}^{\infty} e^{an}
= C \left[ e^a + e^{2a} + e^{3a} +.... \right] \)

　\( \Large \displaystyle 2 S_1 = 2 \cdot C \sum_{n=1}^{\infty}n e^{an}
= C \left[ 2 e^a + 4 e^{2a} + 6 e^{3a} +.... \right] \)

その差分は，

　\( \Large \displaystyle 2 S_1 - S_0
= C \left[ e^a + 3 e^{2a} + 5 e^{3a} +.... \right] \)

と，　\( \Large \displaystyle (1 - e^a) S_2\)，と等しくなります．したがって，

\( \Large \displaystyle (1 - e^a) S_2 = 2 S_1 - S_0\)

\( \Large \displaystyle S_2 = \frac{2 S_1 - S_0}{1 - e^a}
= \frac{2N - 1}{ 1- (N-1)/N}= \frac{2N - 1}{ N/N- (N-1)/N} = \frac{2N - 1}{ 1/N}= (2N-1) \ N \)

\( \Large \displaystyle Var = S_2 - S_1^2 = (2N-1) \ N- N^2 =2N^2-N-N^2 = N^2 -N =N (N-1)\)

となります．

N=6，の場合には，30，となり，サイコロの場合と一致します．