サイコロを振って，”６”が出るまでの回数はどのような分布になるか?

分散値はいくらか?

分散値を求めるには，なかなかややこしい計算ですが，こちらのサイト，を参考にしました，ありがとうございます．

いままでの計算をまとめると，

\( \Large \displaystyle P(n) = \frac{1}{5} e^{an} \)

　\( \Large \displaystyle e^a =\frac{5}{6}\)

規格化を，

　\( \Large \displaystyle S_0 \equiv \sum_{n=1}^{\infty} P(n) = 1\)

平均値を，

　\( \Large \displaystyle S_1 \equiv \sum_{n=1}^{\infty} n P(n) = 6\)

二乗平均値を，

　\( \Large \displaystyle S_2 \equiv \sum_{n=1}^{\infty} n^2 P(n) \)

とした場合に，分散値は，

　\( \Large \displaystyle Var = S_2 - S_1^2 \)

となる値を求めたいのです．

まずは，S₂

　\( \Large \displaystyle S_2 = \frac{1}{5} \sum_{n=1}^{\infty} n^2 e^{an}
= \frac{1}{5} \left[ e^a + 4 e^{2a} + 9 e^{3a} +.... \right] \)

\( \Large \displaystyle e^{a} \)　を掛けると，

　\( \Large \displaystyle e^{a} S_2
\hspace{77pt} = \frac{1}{5} \left[ \hspace{36pt} e^{2a} + 4 e^{3a} + 9 e^{4a} +.... \right] \)

その差分は，

　\( \Large \displaystyle (1 - e^a) S_2
\hspace{40pt} = \frac{1}{5} \left[ e^a + 3 e^{2a} + 5 e^{3a} +.... \right] \)

となります．

また，

　\( \Large \displaystyle S_0 = \frac{1}{5} \sum_{n=1}^{\infty} e^{an}
= \frac{1}{5} \left[ e^a + e^{2a} + e^{3a} +.... \right] \)

　\( \Large \displaystyle 2 S_1 = 2 \cdot \frac{1}{5} \sum_{n=1}^{\infty}n e^{an}
= \frac{1}{5} \left[ 2 e^a + 4 e^{2a} + 6 e^{3a} +.... \right] \)

その差分は，

　\( \Large \displaystyle 2 S_1 - S_0
= \frac{1}{5} \left[ e^a + 3 e^{2a} + 5 e^{3a} +.... \right] \)

と，　\( \Large \displaystyle (1 - e^a) S_2\)，と等しくなります．したがって，

\( \Large \displaystyle (1 - e^a) S_2 = 2 S_1 - S_0\)

\( \Large \displaystyle S_2 = \frac{2 S_1 - S_0}{1 - e^a}
= \frac{12 - 1}{ 1- 5/6} = \frac{11}{ 1/6} = 66\)

\( \Large \displaystyle Var = S_2 - S_1^2 = 66 - 6^2 =30 \)

となります．